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时间:2019-07-31
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1、矩阵的同时相似上三角化问题张永伟(2011080010008)数理基础科学班指导教师:王也洲、何军华【摘要】本文讨论了阶矩阵同时相似上三角化的充分条件,必要条件以及充要条件。【关键词】相似上三角化;特征向量;Sylvester不等式一.引言文【1】告诉我们:两个可交换的阶矩阵在复数域中一定有相同的特征向量,进一步若能相似对角化,那么一定能同时相似对角化。但是对于一般的阶矩阵不一定能相似对角化。我们又知道,任意方阵都可以和Jordan矩阵相似,也就是说,任意阶矩阵都能相似上三角化。为此,我们有必要讨论阶矩阵同时相似上三角化的问题。二.正文定义2.1:对于阶矩阵,用表示矩阵
2、的秩。性质2.1:若能同时相似上三角化,那么有公共的特征向量。证明:因为可同时相似上三角化,所以存在可逆矩阵,使得且。设,则,。所以有公共的特征向量。■因此能同时相似上三角化的必要条件是有相同的特征向量。性质2.2:若能同时相似上三角化,那么为幂零矩阵。证明:由性质2.1的证明可知,。又因为,所以,即为幂零矩阵。■性质2.3:设为2阶矩阵,那么(1)若为幂零矩阵,则;(2)当且仅当有公共的特征向量。证明:因为或时,结论显然成立,所以不妨假定,当为幂零矩阵时,易知的特征值一定为,于是存在可逆矩阵使得,所以。又因为,当时,有,从而方程有非零解,显然是的公共特征向量;当时,根
3、据Sylvester不等式,知。若,显然有公共特征向量;若,则,此时必有,于是存在可逆矩阵使得或,其中。设,则当时,,所以或,显然,此时有公共特征向量;同理当时,也有公共特征向量。以上我们证明了二阶矩阵有公共特征向量是的必要条件,接下来我们证明这个条件也是充分的。不妨设是的公共特征向量,将扩充为二维空间的一组基,令,显然为上三角矩阵。当有公共特征向量时,则有非零解,所以。■下面讨论更为一般的情形。性质2.4:假定为阶矩阵且,若,则有公共特征向量。证明:因为,由Sylvester不等式得到。若,则有公共特征向量;若,则有,于是,又因为,所以,此时与矛盾。■性质2.5:满足
4、条件的任意阶矩阵可以同时上三角化。证明:由条件知矩阵具有公共特征向量,不妨设是的公共特征向量,将其扩充为维空间的一组基;当时,由性质2.4知,可以同时上三角化;假设当时结论也成立,现在考虑时的情况。不妨设是的公共特征向量,同样将之扩充为维空间的一组基,令,则有,。于是,因为,所以,由数学归纳法知可以同时上三角化。■推论2.1:假定,那么当时,有公共特征向量。性质2.6:如果存在使得成立,则可以同时上三角化。证明:因为,与前面证明类似,可以得出结论。■推论2.2:若存在满足条件,则可同时相似上三角化。推论2.3:若存在使得成立,则可同时相似上三角化。三.总结本文主要讨论了
5、两个矩阵能同时相似上三角化的充分条件、必要条件、以及充要条件。通过分析证明过程,我们还做出了进一步的推广。这对将来解决类似问题带来很大的方便。参考文献【1】黄廷祝,成孝予,线性代数与空间解析几何,高等教育出版社,2008.【2】黄廷祝,何军华,李永彬,高等代数,高等教育出版社,2012.
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