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1、两个矩阵同时相似对角化MATLAB程序摘要：使用Matlab语言设计出实现两个复矩阵同时相似对角化的计算机程序。关键词：同时相似对角化；Matlab；程序矩阵对角化是重要的数学方法，但因其计算过程繁琐，人们往往望之生畏，尤其是多个矩阵同时对角化问题，因此本文设计出判断及计算两个复矩阵能否同时相似对角化的Matlab程序，用此能够方便地解决两个复矩阵同时相似对角化问题。1.理论基础定义［1］：设A、B是数域F上两个n阶矩阵，若存在f上的n阶可逆矩阵t，使得T-1AT与T-1BT同时为对角矩阵，则称A、B可同时相似对角化.定
2、理［1］：设A、B都是复数域C上的n阶矩阵，若AB=BA且A、B都可对角化，则存在可逆的T,使得T-1AT、T-1BT同时为对角形.证：因为A可对角化，所以存在可逆的P,使得其中❷"，•••，❷d互不相同且nl+...+ns=n.又AB=BA(P-1AP)(P-1BP)=(P-1BP)(P-1AP),所以是准对角矩阵.其中Bi是ni阶方阵(i=l,2,…，s).但因为B可对角化，所以它的初等因子都是一次的，于是Bi的初等因子都是一次的，所以存在ni阶可逆方阵Qi,使得Qi-lBiQi(i=l,2,…，s)为对角形，于是令
3、Q=diag[Ql,...,Qs],则必有是对角形•于是令T二PQ,则T可逆，并且同时都是对角形.2.算法设计定理给出了判定两个矩阵能否同时相似对角化的条件，定理的证明给出了两个矩阵同时相似对角化的方法，据此设计算法如下：Stepl.依次判定是否AB=BA、B是否可以相似对角化、A是否可以相似对角化，若均是则转，否则输出A与B不能同时相似对角化(在MATLAB中可使用命令”[P,D]二eig(A)"求出一个矩阵P及对角矩阵D,再计算P的行列式的值即可断定A能否相似对角化)。Step2.确定A的特征根的个数s及每个特征根的
4、重数ni,并将D改写为D=diag[❷dlni,...,❷dsns](❷dl,...,❷ds是A的互不相同的特征根,ni是❷di的重数)，且对P的列按照D中❷di的次序进行排列；Step3.计算P-lBP=diag[Bl,Bs],且求变换矩阵Qi,使Qi-lBiQi(i=l,,s)为对角形；Step4.令Q=diag[Ql,...,Qs],T=PQ,则TTAT、T-1BT同为对角形。算法的关键步骤是计算P-1BP二diag[Bl,,Bs],而其中的P必须由以下形式的D来确定：(D=diag[❷dlni,...,❷dsns
5、](❷dl,...,❷ds是A的互不相同的特征根，ni是❷di的重数，nl+...+ns=n),而P的第i列❷gi与D的对角线上的第i个元素❷di相对应，即❷gi是A属于❷di的特征向量。然而MATLAB的相似对角化命令[P,D]=eig(A)所求出的P与D未必满足要求，所以必须将MATLAB所求出的P与D变形为我们所需要的P与D,为此就应该对MATLAB所求出的D的对角线上的元素重新排列、同时对P的列也做相应的排列，具体方法是：扫描的对角线上的元素，每次扫描确定一个特征根的重数，并将该次扫描所得到的相同的特征根集中排列
6、在一起，并对P的列做同步排列，同时对扫描处理过的元素做出特定的标记，通过若干次扫描而求得A的特征根个数s与每个特征根❷di的重数ni,并得到所需要的P与D。据此思想设计算法如下：whilekfprintf('请输入矩阵的阶数：')；n=input('n=')；fprintf(?请输入矩阵A.')；A=input('A=>')；fprintf('请输入矩阵B.')；B=input('B=>')ifA*B〜二B*Afprintf('矩阵A与B不能同时相似对角化，);end[P,D]=eig(B)；ifdet(P)二二
7、0；fprintf('矩阵A与B不能同时相似对角化，)；end[P,D]=eig(A)；ifdet(P)=0；fprintf(，矩阵A与B不能同时相似对角化，)；endk=0；%｛记录统计次数％｝s=0；%｛记录特征根个数％｝b二1/100000000；%｛记号％｝ni=linspace(0,0,n)；%｛定义存储代数重数数组%｝E=eye(n)；%｛生成n阶单位阵%｝whileklPij=E；Pij(:,m+1)=E(:,j)；Pij(:,j)=E(:,m+1)；p二p*Pij；d(j,j)二D(m+1,m+1)；D(
8、m+1,m+1)=b；m=m+1；endendendendendend代码保存为".m”文件,如"tsdjh.m”,将tsdjh.m保存在MATLAB的”word”目录下，或者保存在自己的目录下且设置路径，那么在MATLAB的命令窗口中输入：tsdjh,回车,即可。方法二：直接将以上程序代码复制到MATLAB的命令窗
