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1、2005年4月枣庄学院学报Apr.2005第22卷第2期JOURNALOFZAOZHUANGUNIVERSITYVol.22NO.2两个矩阵同时对角化的条件陈现平,王文省(聊城大学数学科学学院,山东聊城252059)[摘要]给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的一些条件.[关键词]矩阵;实对称矩阵;正定矩阵;同时对角化[中图分类号]O151.21[文献标识码]A[文章编号]1004-7077(2005)02-0011-03在高等代数或线性代数中,矩阵对角化占有重要地位.在矩阵理论、二次型及线性变
2、换等问题上有广泛的应用.单个矩阵对角化的问题已在高等代数或线性代数教材中有系统的讨论.然而,经常遇到两个矩阵同时相似对角化或同时合同对角化的问题.本文主要给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的充分或充要条件.这些对于深化高等代数或线性代数的学习及问题的解决是非常有益的.1两个矩阵同时合同对角化对于两个实对称矩阵,可有如下的同时合同对角化的条件.[5]定理1设A,B为n阶实对称方阵,且A正定,则存在实可逆矩阵P,使TTPAP=E,PBP=diag(λ1,…,λn)其中λi∈R,i=1,…n.[1]
3、TT定理2设A,B为n阶实对称半正定方阵,则存在n阶实可逆矩阵P,使PAP与PBP同时为对角矩阵.-1定理3设A,B为n阶实对称方阵,且B可逆,BA有n个互异的特征根,则存在可逆阵TTP,使PAP与PBP同时为对角矩阵.-1证明设λ1,…,λn为BA的n个互异的特征根,对应的特征向量为α1,…,αn,即-1BAαi=λiαi,i=1,…,n.-1由于α1,…,αn线性无关,故P=(α1,…,αn)可逆,且BAP=Pdiag(λ1,…,λn),即AP=BPdiag(λ1,…,λn)T上式两端左乘P得TT
4、PAP=PBPdiag(λ1,…,λn)T而PAP为对称的,故TTPBPdiag(λ1,…,λn)=diag(λ1,…,λn)PBPT又λ1,…,λn互异,不防设PBP=diag(b1,…,bn),于是有TPAP=diag(b1,…,bn)diag(λ1,…,λn)=diag(b1λ1,…,bnλn)可得结论成立.TT定理4设A,B为n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使QAQ与QBQ同为对角矩阵[收稿日期]2004-12-20[作者简介]陈现平(1976-),男,山东临朐人,聊城大学数学科学学院讲师,
5、主要从事最优化理论与算法研究.·11·枣庄学院学报2005年第2期的充要条件为AB=BA.TT证明必要性.设QAQ=diag(λ1,…,λn),QBQ=diag(μ1,…,μn),则有TTQABQ=diag(λ1μ1,…,λnμn)=QBAQ由Q为正交矩阵有AB=BA.充分性.由A为实对称矩阵,则存在正交矩阵P,使得TPAP=diag(λ1En,λ2En,…,λsEn)12sTTTT其中λ1,…,λs互异,n1+…+ns=n.由AB=BA有(PAP)(PBP)=(PBP)(PAP),故TPBP=dia
6、g(Bn,Bn,…,Bn)12s其中Bn为ni阶实对称方阵.而B为实对称矩阵,可对角化.故Bn也可对角化,即存在正交矩阵iiTRn使得RnBnRn(i=1,…,s)为对角矩阵.令iiiiQ=Pdiag(Rn,Rn,…,Rn)12sTT则Q为正交矩阵,且使得QAQ与QBQ同为对角矩阵.2两个矩阵同时相似对角化对于一般的两个矩阵,若A,B可交换且满足一定条件,则A,B可同时相似对角化.[6]n×n定理5设矩阵A,B∈F,A,B均可相似对角化,且A的特征值相等,则A,B可同时相似对角化.n×n定理6设A,B
7、∈F,且A在F中有n个不同的特征值,AB=BA,则存在可逆矩阵Pn×n-1-1∈F,使PAP,PBP同时为对角阵.-1证明由A在F中有n个不同的特征值,则存在可逆矩阵P,使得PAP=diag(λ1,…,λn).其中λ1,…,λn为A的n个不同的特征值.由AB=BA有-1-1-1-1(PAP)(PBP)=(PBP)(PAP)-1从而PBP为对角阵,即结论成立.n×nn×n-1定理7设A,B∈F,且A,B均相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵P∈F,使PAP,-1PBP同时为对角阵的充要条件为AB=BA.证明与
8、定理4类似.由矩阵相似于对角矩阵与初等因子,最小多项式的关系,有如下推论.n×n推论1设A,B∈F,且AB=BA,A,B的初等因子全为一次的,则A,B可同时相似于对角阵.n×n推论2设A,B∈F,且AB=BA,A,B的最小多项式无重根,则A,B可同时相似于对角阵.由于幂等矩阵,对合矩阵可相似对角化,故n×n22推论3设A,B∈F,且A=A,B=B,AB=BA,则A,B可同时相似于对角阵.n×n22推论4设A,B∈F,且A=B=E,AB=BA,则A,B可同
