相似矩阵与矩阵地对角化1.pdf

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1、§5.3相似矩阵与矩阵的对角化定义8(相似矩阵)对于ABnnìì,,nn若存在可逆矩阵Pnnì,线-1使得PAPB=,,,则称与相似或相似于ABAB记为AB~,-1性并称由APAç=PB的变换为相似变换为此相似变,P换的矩阵.代ñ如果与一个对角矩阵相似则称可AA,,相似对角化简称为A可对角化.数本节的两个注意问题:(1)方阵可对角化的条件;=(2)如果方阵会对角化即存AP,在可逆矩阵及对角-1矩阵DP,,使得AP=D那么如何求矩阵和,PD呢?=ñ相似矩阵的简单性质:-1(1)反身性:AAIA~(IA=

2、)(2)对称性若:ABBA~,则~(若存在可逆矩阵P,使线--11-1-1得则PAPB==,(有P)BP()ABA,故)性(3)传递性若:ABB~,~C,则A~C,(若存在可逆矩-1-1-1-1阵使P,Q,得PAP==BQBQ,C,则QPAPQ=C,代-1即()())PQAPQ=C.定理5定理方阵相似的几个必要条件设方阵5()数AB与相似则,=(1)AB=;(2)()()rArB==--11特别当与都为可逆矩阵时有AB,)AB与相似;»º»º1110ñ=定理的逆命题不真例如5,AI…»…»与=.¬¼

3、¬¼0101有AIrArI==1,()==()2,线l--112llIA-==-=-(1)lII,01l-性但不与相似因为与单位矩阵相似的矩阵只能是单位矩阵AI,:I--11即若存在可逆矩阵使得PPAPIAP===,则IPI代这与AIò发生矛盾故不与相似,.AI由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得数推论若n阶矩阵A与对角阵»ºl1=…»lA=…»2…»6相似则,,,,ll3l是的特征值An.=12n…»…»¬¼ln定理6方阵可对角化的充要条件定理6()nA阶方阵可对角化∫A有个线性无关

4、的特征向量n.证明:"Ω",设可对角化即存在可逆矩阵使得AP,线»ºl1…»性lPAP-1=…»2记为(*)D…»6代…»…»¬¼ln设按列分块为P数Pxx=3x12n=则由可逆知向量组Px,,,x3x线性无关当然其中(12n不含零向量由).()*=式有,APPD=»l1º…»lΩAxx3x=xx3x…2»线12n12n…6»…»性l¬n¼ΩAxAx3Ax=lxlx3lx12n1122nn代ΩAx=lx(i=1,2,3,n)ii因为xò0.Ωl,3,l为A的特征值.且x,x,3,x数i1n12n依次为

5、对应的特征向量.=将以上的证明倒推上去,就是充分性的证明.=定理6说明了(1)方阵可对角化的条件.(2)在会对角化时如何求的相似对角化的变换矩阵AA,线PD及对角矩阵:性»ºl1…»l如果存在可逆矩阵PP,,使得-1AP==…»2D代…»6…»…»¬¼ln数则就是的全部特征值而的列向量组就是ll,,,3lAP,12nAn的个线性无关的特征向量且的第个列向量是属于,Pj=对角矩阵中的特征向量Djl,1=,2,,3nj推论推论11如果矩阵A的特征值都是单特征根，则A与=对角矩阵相似.推论方阵可对角化的充要

6、条件推论2()方阵可对角化AA∫属于的每个重特征值的线性无关的特征向量个数正好等于该特征值的重数.线»º110…»性例1:方阵A=550是否相似于对角矩阵若是求可?,…»…»¬¼002代-1逆矩阵及对角矩阵PD,.使得PAP=D解:由的特征方程A数l--110l--11lllIA-=-55-0(=-2)=--55l002l-2==-(2llll)(6)(2-=--=ll)(6)0得的全部特征值为AAlll===0,2,6.因的特征值互123不相同故必可对角化,.A对于特征值l1=-0,解方程组(0IA

7、x)=0,由线»º110»1º…»…»0IAAA-=-çç001Ω基础解系x=-1性…»1…»¬¼…000»…¬0¼»对于特征值l=-2,解方程组(2IAx)=0,由代2»º110110100--»º»º25IA-=…»-30ç…»020ç…»010数…»…»…»…»¬¼000…»¬¼000…»¬¼000T=Ω=基础解系x(0,0,1)2对于特征值l=-6,解方程组(6IAx)=0,同样可得3T=x=(1,5,0),3则xxx,,就是的个线性无关的特征向量A3.123»101º»0º…»-1…»令矩阵

8、PP==xxx-105,则有AP=2123…»…»…¬¼010»…¬¼6»线注意对角矩阵主对角元素的特征值的排列次序与的列向量()AP()A的特征向量的排列次序一定要一致.性»º001…»例2:,常数ab满足什么条件时,A=a1b可对角化在可?…»代…»¬¼100-1n对角化时求可逆矩阵,,PP使得AP成为对角矩阵并求,A数解:由的特征方A程l01-=2llIAa-=---1b=-(1ll)(1+=)0-10l=得得全部特征值为Alll===1,-112