周相似矩阵及对角化

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1、第十五周：相似矩阵及对角化1线性代数一、相似矩阵与相似变换的概念2线性代数1.等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质3线性代数证明4线性代数推论若阶方阵A与对角阵5线性代数三、利用相似变换将方阵对角化6线性代数说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．7线性代数例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解8线性代数解之得基础解系9线性代数求得基础解系10线性代数解之得基础解系故不能化为对角矩阵.11线性代数A能否对角化？若能对角例2解12线性代数

2、解之得基础解系13线性代数所以可对角化.14线性代数注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．15线性代数定理1对称矩阵的特征值为实数.四、对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．16线性代数17线性代数证明它们的重数依次为根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3(如上)可得：设的互不相等的特征值为18线性代数由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得个.故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵，则19线性代数根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：五、利用正交矩阵将对

3、称矩阵对角化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.20线性代数解例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值21线性代数解之得基础解系解之得基础解系22线性代数解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化23线性代数24线性代数25线性代数26线性代数于是得正交阵27线性代数谢谢大家！28线性代数