次课相似矩阵及矩阵的对角化

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1、§5.3相似矩阵一、相似矩阵的概念二、相似矩阵的性质三、n阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件一、相似矩阵的概念定义1设A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵P，使得P–1AP=B成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B。称P为相似变换矩阵。相似关系是矩阵间的一种等价关系，即满足自反性：A~A，对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B，B~Ｃ，则A~Ｃ1.如果方阵A与B相似，则它们有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。即若A~B，则

2、lE-A

3、=

4、lE-B

5、

6、lE-B

7、=

8、P-1(lE)P-P-1AP

9、=

10、lE-P-1AP

11、=

12、

13、P-1(lE-A)P

14、=

15、P-1

16、

17、lE-A

18、

19、P

20、=

21、lE-A

22、，二、相似矩阵的性质A与B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值。2.相似矩阵的行列式相等。即若A~B，则

23、A

24、=

25、B

26、

27、B

28、=

29、P-1AP

30、=

31、P-1

32、

33、A

34、

35、P

36、=

37、A

38、

39、P-1P

40、=

41、A

42、证明：因为P-1AP=B，3.相似矩阵有相同的迹。即若A~B，则相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。若都可逆，其逆矩阵也相似。5.相似矩阵有相同的秩。即若A~B，则R（A）=R（B）注意：以上性质均为相似的必要条件，可以用来排除哪些矩阵不相似。例5若Ａ相似于

43、对角阵L，则存在可逆阵Ｐ，使则A=PLP-1A２=（PLP-1）（PLP-1）＝PL２P-1,A３＝A２A＝（PL２P-1）（PLP-1）＝PL３P-1,Am＝PLmP-1证明因为Ａ相似于对角阵L，故存在可逆阵Ｐ，使P-1AP=L,一般的：Am＝PLmP-1。利用对角矩阵计算矩阵多项式k个利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.定理证明例1若求x，y．解得：x=-17,y=-12解：由于Ａ和Ｂ相似，所以tr(A)=tr(B),

44、A

45、=

46、B

47、,即22+x=1+422x-31y=4-6解：由于矩阵Ａ和Ｄ相似，所以

48、A

49、

50、=

51、D

52、,即

53、A

54、=

55、D

56、＝12.例２设3阶方阵A相似于矩阵，求

57、A

58、．三、n阶方阵与对角矩阵相似的条件相似矩阵具有许多共同的性质，因此，对于n阶方阵A，我们希望在与A相似的矩阵中寻求一个较简单的矩阵。在研究A的性质时，只需先研究这一较简单矩阵的同类性质。下页若方阵A与一个对角阵L相似，则称方阵A可对角化。记为A~L，并称L是A的相似标准形。问n阶方阵A与一个对角矩阵L相似的条件？=(l1X1,l2X2,,lnXn)(X1,X2,,Xn)l1000l2000ln思考

59、题=?下面讨论对角化的问题这说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。定理n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。二、矩阵的对角化（利用相似变换把方阵对角化）定理5.3(P130)阶矩阵可对角化（与对角阵相似）有个线性无关的特征向量。注意：这时P和对角阵是如何构成的？可验证线性无关，故A可对角化.[见后面注]第1步求特征值即求的基础解系第2步求线性无关的特征向量，例2讨论矩阵是否可对

60、角化.若可以，求可逆矩阵P使为对角矩阵.[参见§5.1例3]第3步把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵P.第4步写出相似变换及对角矩阵.注下面的定理告诉我们，本题中的线性无关性不需要验证.如果确定A是否有N个线性无关的特征向量？例6、矛盾。证明证明则即类推之，有把上列各式合写成矩阵形式，得推论5.1若阶方阵有个互不相同的特征值,则可对角化。（与对角阵相似）(逆命题不成立)不同特征值对应的线性无关的特征向量合并以后仍是线性无关的。即设是矩阵A的不同的特征值，又设对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为则仍

61、是线性无关的。定理5.4证(只证两个不同特征值的情况)设上式两边左乘A得再由线性无关得类似可得由假设得设的所有不同的特征值为则注：就是的重根数，称之为的(代数)重数，就是对应的最大无关特征向量的个数，称之为的几何重数。该定理说明：任一特征值对应的无关特征向量的个数至少有一个，至多不会超过它的重数。如果是单重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。定理5.5定理5.6n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。即设互不同，此时则A可对角化的充要条件是亦即：的重数恰好等于它对应的最大无关特征向

62、量的个数。简称:几重特征值有几个特征向量.定理5.6n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。简称:几重特征值有几个特征向量.例３.判断下列矩阵是否下列矩阵是否相似于对角阵，若相似求可逆矩阵Ｐ，使P-1AP=L-11-4（２）.B=103020解：(2).矩阵B的特征方程为l+1-14-10l-30l