复变函数模的积分中值定理_王磊.pdf

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1、第28卷第3期焦作师范高等专科学校学报Vol.28.No.32012年9月JOURNALOFJIAOZUOTEACHERSCOLLEGESep.2012复变函数模的积分中值定理王磊，李中杰(焦作师范高等专科学校数学学院，河南焦作454000)摘要:实函数微积分和复变函数的解析及积分性质都是数学中的重要组成部分，复变函数做为前者的后续和延伸，在许多结论上都与实函数有很大的区别．微积分中值定理作为实函数微积分学的理论基础，在复变函数领域中是否有相似的结论，利用复合函数及复积分计算的方法，寻找和探讨复变函数模的积分中值点的存在性，得到更简

2、单直接的形式．关键词:复变函数;中值点;积分中值定理;连续中图分类号:O174．5文献标识码:A文章编号:1672－3465(2012)03－0007－020引言数学分析又称为微积分学，是大学数学中的一门基础课．其中，微分三大中值定理和积分中值定理是微积分学的理论基础，在数学定理的证明和公式的推导中都有很多的应用．我们知道，这些都是数学分析中实［1］函数的中值定理，在钟玉泉老师编著的复变函数教材中，明确指出了这些中值定理在复变函数中是不成立的，并举出了一些反例，如复数域上的幂函数，但是并没有给出类似的复中值定理方面的结论．积分中值定

3、理在复变函数中的推广上，已经有一些成果，如参考文献［2］和［3］中都有相关的复中值定理的结论，但是结［4］论中都需要用两个中值点去描述它的分析性质．为了简化结论，我们给出只需一个中值点的复变函数模的积分中值定理．1定理及证明［5］引理1．1(积分第一中值定理)若f(x)在区间［a，b］上连续，则至少存在一点ξ∈［a，b］，使得b∫f()xdx=f()ξ(b－a)成立．a［2］引理1．2设复数a，b(a≠b)，函数f(z)沿连续［a，b］连续，则存在ξ，η∈［a，b］，使得∫f(z)dz=(a，b)［Ref(ξ)+iImf(η)］(b

4、－a)成立．［3］引理1．3设C:z=z(t)是区域D内以α为起点β为终点的直线段，φ(z)是区域D内单叶函数，且ω=φ(z)将C映为曲线Γ，如果f(ω)沿曲线Γ连续，那么一定存在z1，z2∈C，使得∫f(ω)dω=(β－Γα){Ref(φ(z1))φ'(z1)+iImf(φ(z2))φ'(z2)}成立(引理1．3中的两个中值点是z1，z2和引理1．2中的中值点ξ，η作用完全一致)．定理若z1，z2是复平面内任意两点，复函数f(z)在连接该两点的线段z1z2上连续，则在z1z2上至少存在一点ξ使得∫f(z)dz=f(ξ)(z2－z1

5、)成立．z1z2证明可设线段z1z2的参数方程为:z=z(t)=(1－t)z1+tz2，其中t∈［0，1］．则当实数t连续从0取到1时，点z在复平面内连续从z1取到z2．利用复积分计算公式和积分不等式，可知:111∫f(z)dz=∫f［z(t)］z'(t)dt=∫f［z(t)］(z2－z1)dt=(z2－z1)∫f［z(t)］dt．(1)000z1z2收稿日期:2012－03－18作者简介:王磊(1983—)，男，河南沁阳人，焦作师范高等专科学校数学学院讲师，硕士，研究方向:复分析．·7·焦作师范高等专科学校学报1而上式右侧除了复系

6、数(z2－z1)，剩余积分已经化为了实积分∫f［z(t)］dt，明显有f(z)在线段z1z2上0连续，z(t)在［0，1］上连续，绝对值函数连续，从而被积函数f［z(t)］在［0，1］上连续，可应用数学分析中的积分第一中值定理，存在t0∈［0，1］，使得:1∫f［z(t)］dt=f［z(t0)］(1－0)=f［z(t0)］．(2)0由函数表达式z(t)=(1－t)z1+tz2易知，z(t0)∈z1z2，记为ξ=z(t0)∈z1z2(3)综合(1)，(2)，(3)式可知，在z1z2上至少存在一点ξ使得:∫f(z)dz=f［z(t0)］

7、(z2－z1)=f(ξ)(z2－z1)．z1z2定理得证．分析:该结论形式和数学分析中实积分第一中值定理有很大的相似性，这是其优势所在，在应用上都有方便易用性．3结语目前，对复函数积分中值定理的研究，都是通过利用复积分计算公式、积分不等式、函数变化或复合，将复积分化为实积分，再利用数学分析中的中值定理去证明，如文献［2］和［3］中就是将被积函数化为实部和虚部，提取复系数因子，化为两个实积分，证明的结论中顺理成章地有了两个中值点ξ和η的引入，形式相对复杂．本文积分中值定理形式上更简单直接，但是只能限定在复变函数模的积分估值或积分变换等

8、应用中，解决了复变量微分dz和积分路径z1z2的实变换．［参考文献］［1］钟玉泉．复变函数论［M］．北京:高等教育出版社，1988:92－98．［2］曾韧英．关于复变函数的中值定理［J］．重庆师范学院学报(自然科学版)，1998(1)