复变函数3.1 中值定理.ppt

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1、中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广第三章微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理微分中值定理费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:设则证毕罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点若M

2、>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得使本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.2)定理条件只是充分的.例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设1.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验

3、证在上满足罗尔定理条件.设拉格朗日中值定理(1)(2)使得二、拉格朗日(Lagrange)中值定理注f(x)在(a,b)内可导.f(x)在[a,b]上连续;:)(满足若函数xf,),(x内至少存在一点则在开区间ba拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.几何意义：C2hxOyABaby=f(x)C1x证明作辅助函数拉格朗日中值定理(1)(2)使得f(x)在(a,b)内可导.

4、f(x)在[a,b]上连续;:)(满足若函数xf,),(x内至少存在一点则在开区间ba证明拉格朗日中值定理(1)(2)使得f(x)在(a,b)内可导.f(x)在[a,b]上连续;:)(满足若函数xf,),(x内至少存在一点则在开区间ba证作辅助函数由此得拉格朗日中值公式易知微分中值定理,],[)(上连续在闭区间baxg内开区间),(ba可导，使得内至少存在一点故在开区间,),(xba.也成立对ab<于是，拉格朗日中值公式也可改写成上式也可叫做拉格朗日中值公式。也可以写成下式拉格朗日公式表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区

5、间内某点处的导数之间的关系拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：推论证有由条件,即在区间I中任意两点的函数值都相等,所以,例证由上式得设由关键满足拉格朗日中值定理的条件,例证例证：由推论三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切

6、线斜率例设至少存在一点使证:结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明例5.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:例5.试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理思考与练

7、习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程2.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.3.思考:在即当时问是否可由此得出不能!因为是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到

8、普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家、物理学家、天文学家.被誉为“欧洲最大的数学家”.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作