复变函数的微分中值定理及其应用-论文.pdf

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1、第31卷第1期湖北民族学院学报(自然科学版)V01．31No．12013年3月Jo唧alofHubeiUIlivers畸forNationadities(NaturalscienceEdition)Mar．2013复变函数的微分中值定理及其应用郑利凯(内蒙古民族大学数学学院，内蒙古通辽028000)摘要：研究整函数的微分中值定理，得到一个新的复变函数微分中值定理．给出了复变函数微分中值定理在定理证明和计算复变函数不定式极限方面的应用．关键词：微分中值定理；整函数；高阶导数定理；不定式极限中图分类号：017

2、4．52文献标志码：A文章编号：1008—8423(2013)O卜0038一05TheDi仃erentialMeanValueTheoremfortheFunctio璐ofComplexVari蜀IbleanditsApplicationZHENGLi—kai(CollegeofMathematics，InnerMongoliauniversityforNationalities，7rondiao028000，China)Abstract：Thedifkrentialmeanvaluetheoremsfo

3、rentirefunctionsarestudied．Anewdifkrentialmeanvaluetheoremforthefunctionsofcomplexvariableisfound，anditsapplicationontheorempmVingand1imitcalculationofcomplexvariableinde6nite{．0mulaisgiVen．Keywo^Is：differentialmeanvaluetheorem；entirefunctions；theh培herord

4、erderiVatiVetheorem；limit0fjndefjnjtefon_I】u】a我们知道实分析中有完整的微分中值定理，包括罗尔定理，拉格朗日定理，栩西中值定理等．1旦是买分析中的微分中值定理不能简单地推广到复变函数上来‘卜3

5、．例如：设以z)=fe诏硼，则八27r)一八o)=le坩dp=fcos甜p+iJsin甜p=o，但对任何p∈[o，27r]，总有e毋(27r一0)≠0．但如果中值点不限制在区间上，而是限制在一个圆形邻域内，实分析中的微分中值定理就可以推广到复变函数上来．主要的结论有：文献

6、[4]中得到以下结果：引理l设函数八戈)在区域A内解析，Ⅱ为A内任意一点，那么对于点。的某邻域GcA，及任意点6∈G＼{n}，存在满足条件1z一÷(。+6)I<÷I。一61的点石，使得∥(z)=掣．引理2设函数八菇)，g(戈)在区域A内解析，o为A内任意一点，那么对于点口的某邻域GcA，在G内有g‘”1’(x)≠o，则对任意点6∈G、{o}，存在满足条件1名一÷(o+6)l<÷I口一6l的点名，使得：删一群(6_∥∥㈤g(6)一薹j量!；S兰上(6一。)‘g‘“+”‘z’有g，引理㈤3≠设函0，数八则z对

7、)，任g(意戈)点在6区E域GmA}内，解存析在，口满为足A内条任件意愕一∽点，6)那l么<丢对卜于点蝴。她的使某邻得域：G揣cA，=鬻在G．内文献『51中得到以下结果：收稿日期：2013—0卜18．基金项目：内蒙古自治区自然基金项目(2010Ms0119)．作者简介：郑利凯(197卜)，男，硕士，讲师，主要从事实分析和泛函分析的研究第1期郑利凯：复变函数的微分中值定理及其应用39引理4设函数八戈)在区域A内解析，口为A内任意一点，那么对于点口的某邻域GcA，对任意点6∈G＼{口}，存在满足条件I彳一丢(

8、口+6)I<÷I口一6}的点名，使得√≮6)=薹；；￡!：；竺上(6一口)‘+车三；鲁(6一口)n+-．因为常见的函数大都是整函数，下面将这些解析函数中值定理的结论应用到整函数上，得到整函数的微分中值定理．1整函数的微分中值定理根据上向的结论，廿J以推得以卜足理：定理1设函数以戈)为整函数，口为复平面内任意一点，那么对于复平面内任意点6≠口，存在满足条件z一÷(。+6)l<÷ln一6l的点z，使得，(z)=丛掣．ZZD—n证明因为八戈)为整函数，所以八戈)在全平面内解析．口，6为复平面内住意两点，所以存在

9、原点。的某邻域u(。；6)，使得n，6∈u(。；6)以戈)在u(。；6)内解析，根据引理l可知，存在满足条件Iz一丢(。+6)1<÷I口一6l的点z，使得∥(z)=丛掣．定理2设函数厂(戈)，g(戈)为整函数，口为复平面内任意一点，对于点口的某邻域GcA，在G内有g(”-’(戈)≠o，则对任意点6∈G＼{。}，存在满足条件Iz一÷(。+6)I<÷I口一6l的点z，使得：删一喜学”∥P，‰)g(6)-毒学”∥∥””。’‘≠0定，