拉格朗日微分中值定理在复变函数论中的推广-论文.pdf

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1、第36卷第5期唐山师范学院学报2014年9月Vo1．36No．5JournalofTangshanTeachersCollegeSep．2014拉格朗日微分中值定理在复蛮函数论中的推广张庆(唐山师范学院数学与信息科学系，河北唐山063000)摘要：给出了拉格朗日微分中值定理在解析区域D内整体性推广、向实部和虚部上的推广。关键词：解析函数；中值定理；区域中图分类号：O174文献标识码：A文章编号：1009—9115(2014)05-0001-02DOh10．3969~．issn．1009—9115．2014．05．001TheLagrangeDiffere

2、ntialMeanValueTheoreminComplexFunctionTheoryandItsApplicationsZHANGQing(DepartmentofMathematicsandInformationScience，TangshanTeachersCollege，Tangshan063000，China)Abstract：ThispapergivestheextensionofLagrangeDifferentialMeanValueTheoremintheanalyticdomainD，intermsofentirety．1ocali

3、tyandreal＆imaginarycomponent．KeyWords：analyticfunction；meanvaluetheorem；domain经典的拉格朗日微分中值定理是数学分析中用导数研f(a+，b+)一f(a，6)究函数的理论基础。然而该定理并不能直接推广到复变函=(a+Oh，b+Oh)h+(n+Oh，b+Oh)k数论中来。例如，厂(z)：e在以0，2为端点的线段上可2拉格朗日微分中值定理在复变函数论中的推广导，且f(2~r)一f(0)=0，对以0，2z为端点的线段上的任在复变函数论中，尽管函数满足可导的条件，但仍然意一点Z，，’(z)

4、：ie≠0，即不存在，使得不能保证存在，使得等式f(2rc)一f(O)=厂()(2万一0)。f(b)一f(a)=厂()【6一a)本文将在特定条件下，将经典的拉格朗日微分中值定成立。因此，猜想将函数所满足的条件由可导加强为解析，理推广到复变函数论中来，这在复变函数论的理论研究上并在右边添加一个系数，以便使结论成立。有一定的研究价值。定理1(区域D内整体性推广)设f(z、在区域D内1预备知识解析，C为D内以a．b为端点的直线段，则存在数，且引理1(经典的拉格朗日微分中值定理)设实函数ll≤1，及∈C，使得厂(x)满足：(1)厂(x)在，6]上连续；(2)(x

5、)在，b)内厂(6)一f(a)=()【6一aJ。证明由已知，’fz1在区域D内含c的单连通区域内可导，则在(a，b)内至少存在一点，使得解析，于是，由复变函数论中的牛顿一莱布尼兹公式，f(b)一f(a)=f()一aJ。显然，若厂(x)在，6]上可导，上述定理结论仍成立。I，(6)n)l=I八z)dzIr(z)l，引理2[](二元函数的中值定理)设二元函数f(x，Y)又lf(z)I在有界闭集C上连续，故必存在点∈C，使得在凸开域DcR上连续，在D的所有内点都可微，则对Dl厂()l是I厂(z)I在C上的最大值。于是内任意两点P(a，6)，Q(a+h，b+k)

6、∈D，存在某o(o<0<1)，使得lCl厂恤l

7、f(n+f(6一n))=Re厂(n+(6一a))，即定理1结论成立。Im厂(n+f(6一n))=Im／(a+(6一n))若存在zC使有厂(z)≠0，而使l厂()l是I厂(z)I在C上的最大值，于是ff()f≠0，令令=a+tI(b-a)，=a+t2(b-)，则，77∈C，使得=二，f()(6一a)(6)一f(a)=[Ref()+fIm厂(77)]·(6一a)则使得即厂(6)一(a)=()(6一n)，f(b)-f(a)——————一：Re厂，()+iImf，(77)。并且由l厂(6)一／()llf()l·b-al定理3(向厂(z)的实部和虚部上的推广2)设

8、得1。f(z)=u(x，Y)+iv(x，Y)综上，C为D内以a．b为端点的直线段