3.1 中值定理

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1、第三章微分中值定理与导数的应用罗尔定理中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理研究函数性质及曲线性态导数的应用研究和解决一些实际问题暨南大学电气信息学院苏保河主讲第三章第一节微分中值定理与导数的应用中值定理主要内容一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲一、罗尔(Rolle)定理费马(fermat)引理费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他提出的费马大定理:nnn“当n>2时,方程x+y=

2、z无整数解”至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.暨南大学电气信息学院苏保河主讲费马(fermat)引理y=f(x)在∪(x0)有定义,f′(x0)=0且f(x)≤f(x0),f′(x0)存在(或≥)证:∵∀x∈∪(x0),f(x)≤f(x0),fxfx()−()且fx′()=lim0存在,0xx→0xx−0y−f−′(x0)≥0()xx→0,y=f(x)+f+′(x0)≤0()xx→0,ox0xfx′()00=.证毕暨南大学电气信息学院苏保河主讲罗尔(Rolle)定理如果y=f(

3、x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续,y(2)在开区间(a,b)内可导,y=fx()(3)f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(,),aboabx使′()=0.ξfξ证:∵f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.暨南大学电气信息学院苏保河主讲罗尔(Rolle)定理如果y=f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(,),ab使f′(ξ)=0.(1)若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b],故∀∈ξ(,),()0.abf′ξ=(2)若

4、M>m,则M和m至少有一个与端点值不等,不妨设M≠f(a),则至少存在一点ξ∈(,),ab使f(ξ)=M,aξbx则由费马引理得f′(ξ)=0.暨南大学电气信息学院苏保河主讲罗尔(Rolle)定理如果y=f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使f′(ξ)=0.注意定理条件不全具备,结论不一定成立.例如:y⎧xx,0≤<1,fx()=⎨⎩0,x=1.o1xyyfx()=x,fxx()=,x∈−[1,1].−1o1xx∈[0,1].o1x暨南大学电气信息

5、学院苏保河主讲例1设f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且f()0,a=证明至少存在一点ξ∈(0,a),使f(ξ)+ξf'(ξ)=0.F'()ξ证:令F(x)=xf(x),x∈[0,a].显然,F(x)在[0,a]上连续,在(0,a)内可导,且F(0)=Fa()=0,由罗尔定理,至少存在一点ξ∈(0,a),使F'()ξ=ff()ξ+ξξ'()0.=暨南大学电气信息学院苏保河主讲例2.若f(x)可导,试证在f(x)的两个零点之间一定有f()xfx+′()的零点.[思路设f(x1)=f(x2)=0,x1

6、,使ff()ξ+′()0,ξ=只要证ξ()+ξ′()=0efξefξx亦即[()efx]′=0]x=ξ证:设f(x1)=f(x2)=0,x1

7、,1]上满足罗尔定理条件,因此存在ξ∈(0,1),使nn−1使ϕ′()ξ=nfξ()ξξξ+f′()0,=即nf()ξ+ξξf′()0.=证毕暨南大学电气信息学院苏保河主讲5在(0,1)内有且仅有一个根.例4证明x−5x+1=0证1)存在性5设f(x)=x−5x+1,则f(x)在[0,1]上连续,并且f(0)=1,f(1)=−3,根据零点定理可知,至少存在一点x0∈(0,1),使f(x0)=0,即方程在(0,1)至少有一个根.2)唯一性(用反证法)0x0x11x设另有x1∈(0,1),x1≠x0,不妨设x1>x0,使f(x1)=0.∵fx()[

8、,]在xx01上满足罗尔定理的条件,∴在(,)x01x(⊂(0,1))内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0.4但f′(x)=5(x−1)<0,x∈(0,