3.1微分中值定理

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1、第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理罗尔(Rolle)定理如果函数于⑴在闭区间［讹］上连续，在开区间(M)内可导，且在区间端点的函数值相等，即/⑷那末在(°劝内至少有一点b)，使得函数/(对在该点的导数等于零，即f©=0例如，f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+l).在［-1,3］上连续，在(—1,3)上可导，且/(-!)=/(3)=0,取^=1,(le(-l,3))广忆)=0.几何解释：在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的.物理解释：变速

2、直线运动在折返点处，瞬时速度等于零.注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,y=x,xe［-2,2］;在［-2,2］上除T（O）不存在外，满足罗尔定理的一切条件，但在内找不到一点能使厂（兀）=0.又例如，y=l-x,xG（0,l］J（0）=0;y=x,xw［0,l］.二、拉格朗日（Lagrange）中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数/（兀）在闭区间［a.b］上连续，在开区间（讪内可导，那末在（ci,b）内至少有一点歹（°使等式、f(b)-f(a)=f(G

3、(b-a)成立.注意:与罗尔定理相比条件中去掉了f（a）=f（b）.结论亦可写成mu=『©.b-a几何解释：在曲线弧AB上至少冇一点C,在该点处的切线平行于弦AB.注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.设/（兀）在在（a劝内可导,x0,x0+Axg（«,Z?）,则有/（勺+Ax）-/（兀°）=广（兀°+处）Ax（0<0<1）.也可写成△），=广（兀。+如:）・心（0<^<1）.（增量△），的精确表达式.）拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗H中

4、值定理乂称有限增量定理.(微分中值定理)宗理如來函数/(X)在区间/上的导数恒为零，那末/(X)在区疋埋：间/上是-•个常数.例1证明当x>0时,-^―

5、auchy)中值定理柯西(Cauchy)中值定理如果函数/(%)及F⑴在闭区间⑺,切上连续，在开区间(以)内可导，且F(x)在(以)内每一点处均不为零，那末在(以)内至少有一点火<^

6、缺一不可.思考题解答°~%<1不满足在闭区间上连续的条件:3，x=1xe[a,b].^ab<0不满足在开区间内可微的条件;X以上两个都可说明问题.