浙财东方学院微积分B第七章.ppt

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1、二元函数极值示例示例1.(1)示例2.(2)示例3.(3)1练习2练习解答34多元函数的最值与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。求最值的一般方法：将函数在定义区域D内所有驻点处的函数值以及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。特殊方法：区域D内只有唯一驻点且为极值点,即为相应的最值点。根据实际意义、实际经验判断是否为最值。5例题与讲解（重点）例：某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位,利润函数为：L=64x-2x2+4xy-4y2+32

2、y-14，求最大利润。解：由极值的必要条件解得唯一驻点(40,24).由可知,唯一驻点(40,24)为极大值点,亦即最大值点。最大值为：L(40,24)=1650答：两产品产量分别为40单位和24单位时,利润最大,最大利润为1650单位。6例题与讲解练习：已知某产品的需求函数为Q=200000p-1.5x0.1y0.3,其中Q为需求量,p为价格,x为广告费,y为推销费,若产品的可变成本为25元/件,固定成本(不含x,y)为8000元。求最佳经营时的价格、广告费和推销费。解：利润函数为最佳经营时,应是总利润最

3、大，故唯一驻点：p=75x355554y10666627例1.要设计一个容量为V的长方体开口水箱,问求x,y,z令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？⑴⑵⑶⑷8⑴－⑵得若于是代入⑴式得不合题意.若代入⑶式得代入⑴式得代入⑷式得9得唯一稳定点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为10例题与讲解例2：将正数12分成三个正数x、y、z之和,并使U=x3y2z最大。解：则11例题与讲解例3：某厂生产A、

4、B两产品,产量分别为x和y(单位:千件),利润函数为L=6x-x2+16y-4y2-2(单位:万元);已知生产这两产品时,每千件消耗某原料2000公斤,现有该原料12000公斤,问两产品各生产多少,总利润最大？解：条件极值问题拉格朗日函数令解得唯一驻点：由实际意义可知,最大值为答：当A生产3.8千件,B生产2.2千件时,利润最大,最大利润为36.72万元。12课堂练习1某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产品，若用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XY求该公司在生产总量为3

5、0单位时使得总成本最低的产量？解：目标函数C=X2+3Y2-XY约束条件X+Y=30（即X+Y-30=0）13课堂练习1(续)14课堂练习2(条件极值)设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函数，f(x,y)=60x¾y¼,若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入30000元资金用于生产情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多？解：目标函数f(x,y)=60x¾y¼约束条件x+2y=300（即x+2y-300=0）15课堂练习2(续)16二重积分的性质(1~5)性质1（k为常数）性质2性质3性质

6、4若为D的面积,则性质5若在D上则有特别地:17二重积分的性质(6~7)性质6(估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则性质7(二重积分中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点(,),使得18例解：X-型19练习解：（如图）将D作Y型-1220解：［X－型］21［Y－型］22解：积分区域如图xyo231原式例题与讲解23练习：改变积分的次序解：积分区域如图24例题与讲解例：写出积分在极坐标下二次积分形式,其中积分区域解25极坐标下化

7、二次积分(2)若积分区域特征如下图26例计算二重积分其中是由圆围成区域.解取极坐标系,区域可表成27故28极坐标下化二次积分(3)若积分区域特征如下图极坐标系下区域的面积29例题与讲解例:计算分析：由于积分区域为圆环，被积函数是f(x2+y2)形式，故采用极坐标计算30例题与讲解例：计算其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域。解：由于积分区域为圆域，被积函数是f(x2+y2)形式，故采用极坐标计算31练习(1)32练习解答33练习解答34练习解答35