高二数学期末复习之四复数（通用）.doc

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1、高二数学期末复习之四复数知识小结:1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.⑵复数及其相关概念：①复数—形如a+bi的数（其中）；②实数—当b=0时的复数a+bi，即a；③虚数—当时的复数a+bi；④纯虚数—当a=0且时的复数a+bi，即bi.⑤复数a+bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）②若，则

2、是的必要不充分条件.（当，时，上式成立）2.⑴复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程.②表示线段的垂直平分线的方程.③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.②.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.注：.1.

3、共轭复数的性质：，（a+bi）（）注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]2.⑴①复数的乘方：②对任何，及有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.②在实数集成立的.当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若是1的立方虚数根，即，则.3.⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：①.②若，是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意

4、的，其模为零.注：.4.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.②当不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.范例分析①实数？②虚数？③纯虚数？①复数z是实数的充要条件是：∴当m＝2时复数z为实数．②复数z是虚数的充要条件：∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数③复数z是纯虚数的充要条件是：∴当m＝1时复数z为纯虚数．【说明】要注意复数

5、z实部的定义域是m≠3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．[]，所以，代入①得，故选．解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B．【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点．求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z．运算简化．解：设z=x+yi

6、(x，y∈R)将z=x+yi代入

7、z4

8、＝

9、z4i

10、可得x＝y，∴z=x+xi(2)当

11、z1

12、＝13时，即有xx6=0则有x=3或x=2综上所述故z＝0或z=3+3i或z=-22i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质．其性质有：(3)1+2i+3+…+1000【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，要记住常用的数据：，，。（2）原式(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：设S＝1+2i+3+

13、…+1000，则iS＝i+2+3+…+999+1000，∴(1i)S＝1+i++…+1000【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．【例5】若，求：解：【例6】设z1=1-cosθ+isinθ，z2=a2+ai(a∈R)，若z1z2≠0，z1z2+=0，问在（0，2π）内是否存在θ使(z1-z2)2为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．【分析】这是一道探索性问题．可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答．【解】假设满足条件的θ存在．因z1z2≠

14、0，z1z2+=0，故z1z2为纯虚数．又z1z2=(1-cosθ+isinθ)(a2+ai)=[a2(1-cosθ)-asinθ]+[a(1-cosθ)+a2sinθ]i，于是，由②知a≠0．因θ∈(0，2π)，故cosθ≠1．于是，由①得a=．另一方面，因(z1-z2)2∈R，故z1-z2为实数或为纯虚数．又z1-z2=1-cosθ-a2+(sinθ-a)i，于是sinθ-a=0，或1-cosθ