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1、抽象代数练习题一．设是一个非空集合,是由的所有子集构成的集合.则集合的并是上的一个代数运算.证明:是一个半群.（10分）二．令.证明关于矩阵的乘法构成一个半群.（10分）-三．设是一个群,证明:,.（10分）四．设是一个群,证明:是交换群的充要条件是,.（10分）五．求证:循环群的商群也是循环群.（10分）六.设是群,和是的子群,(1)证明:是的子群.(2)假设是的正规子群,证明:是的子群.(3)假设和都是的正规子群,证明:是的正规子群.（20分）七．设是群的子群,是的共轭子群,证明:与同构.（10分）八．设是群到群的满同态,是的正规子群,证明:.（20分）第３页共页参考答
2、案：一．证明众所周知,对于任意的,总有.这就是说,上的代数运算适合结合律,所以是一个半群.二．证明众所周知,对于任意的,总有,.这就是说,矩阵的乘法是上的一个代数运算,并且适合结合律,所以关于矩阵的乘法构成一个半群.三．证明对于任意的,我们有,.所以,.四．证明必要性是显然的.现在假设满足该条件.于是,对于任意的,我们有,即.运用消去律(第5题)立即可得.所以是交换群.五．证明设是循环群,是的子群.于是,我们有.这就表明,是循环群.六．证明(1)假设是的子群.于是,对于任意的,我们有存在和,使得存在和,.所以.假设.为了证明是的子群,任意给定.于是,存在和,使得,.因此.由
3、于,因此存在和,使得,从而,.第３页共页这样一来,由于的任意性,我们断言:是的子群.(2)由于是的正规子群,我们有.这样,根据(1),是的子群.(3)根据(2),是的子群.此外,还有,.所以是的正规子群.七．证明：定义到的映射如下:,.直接从的定义可以明白,是满射.利用消去律容易推知,是单射.因此是双射.其次,对于任意的总有.所以是群到群的同构,从而,.八．证明：由于是的正规子群,根据定理6.7,是的正规子群.现在定义到的映射如下:.由是群到群的满同态可知是到的满射.其次,注意到是的正规子群,对于任意的,有.所以是到的满同态.最后,对于任意的,我们有.因此.这样一来,根据群
4、的同态基本定理,.第３页共页
