抽象代数习题

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1、111.〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？2.代数结构〈I，+〉与〈N，·〉是否同构？3.设X为集合，证明〈P（X），∩〉与〈P（X），∪〉是同构的。4.求出〈N6，+6〉的所有自同态。1.给定代数结构〈I，+，·〉，定义I上的二元关系R为：iRj当且仅当

2、i

3、=

4、j

5、,关于加法运算+，R是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？2.设R是N3上的等价关系。若R关于+3具有代换性质，则R关于·3也一定具有代换性质。求出N3上的一个等价关系S，使其关于·3具有代换性质，但关于+3不具有代换性质。3.试

6、确定I上的下述关系R是否为〈I，＋〉上的同余关系：a)xRy当且仅当(x＜0∧y＜0＝∨(x≥0∧y≥0)；b)xRy当且仅当

7、x·y

8、＜10；c)xRy当且仅当(x=0∧y=0)∨(x≠0∧y≠0)；d)xRy当且仅当x≥y。第二章2.在以下给出的N上的关系R中，哪些是么半群〈N，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。a)aRb当且仅当a－b是偶数。b)aRb当且仅当a＞b。c)aRb当且仅当存在r∈I使a=2r·b。d)aRb当且仅当10整除a－b。3.设〈S，*〉是半群，a∈S，在S上定义二元运算·如下：x·

9、y=x*a*y，x，y∈S证明〈S，·〉也是半群。4.设〈M，*〉是么半群且＃M≥2。证明M中不存在有左逆元的左零元。5.设，·为矩阵的乘法运算。证明：1)〈S，·〉为么半群；2)〈T，·〉为么半群；3)〈T，·〉是〈S，·〉的子半群，但〈T，·〉不是〈S，·〉的子么半群。9.试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。定理2.2.5设〈G，*〉为群。若k∈I且a∈G的阶为n，则ak=e当且仅当n｜k。定理2.2.6设〈G，*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n，则ak的阶为n/（k，n）。推论设〈G，*〉为群。若a∈G，则a与a－

10、1的阶相同。11定理2.2.7设〈G，*〉为交换群且a，b∈G。若a的阶为m，b的阶为n且（m，n）=1，则ab的阶为mn。定理2.2.8有限群〈G，*〉的每个元素的阶为有限的，并且不超过＃G。习题2.22.设〈G，*〉是群，u∈G，定义G上的二元运算·如下：a·b=a*u－1*b，a，b∈G证明〈G，·〉也是群。3.设〈G，*〉为群，如果对任意a∈G均有a2=e，则〈G，*〉为交换群。4.设〈G，*〉为群，证明〈G，*〉是交换群，当且仅当对任意a，b∈G，均有(ab)2=a2b2。5.设〈G，*〉为群，且对任意a，b∈G均有

11、(ab)3=a3b3且(ab)5=a5b5。证明〈G，*〉为交换群。5.设〈G，*〉是群，a，b∈G，a不是G的么元且a4b=ba5。证明ab≠ba。6.证明每个元素都可约的有限半群是群。7.证明有限多个群的积代数结构仍是群。10.设〈G，*〉是群，a，b，c∈G。证明1)a和b－1ab的阶相同；2)ab和ba的阶相同；3)abc，bca和cab的阶相同。11.有限群中阶大于2的元素个数必为偶数。12.证明〈Nn－{0}，·n〉是群，当且仅当n为素数。13.设d，m∈I+。证明d是m的因子当且仅当d是〈Nm，＋m〉中某元素的阶

12、。14.求下列群中每个元素的阶：1)〈N5，＋5〉；2)〈N12，＋12〉；3)〈N7－{0}，·7〉；4)〈N13－{0}，·13〉。定理2.3.2若H为群G的非空子集，则H≤G，当且仅当对任意a,b∈H皆有a*b－1∈H。定理2.3.3若群G的非空有穷子集H关于G的二元运算封闭，则H≤G。定理2.3.5设f是群G1到G2的群同态，ei为Gi的幺元（i=1,2）。i）f(e1)=e2。ii）若a∈G1，则f(a－1)=(f(a))－1。iii）若H≤G1，则f[H]≤G2。iv）若f为群单同态且a∈G1，则a的阶与f(a)的

13、阶相同。习题2.31.找出下列各群的所有子群。a)〈N12，+12〉；b)〈N5，+5〉；11c)〈N7－{0}，·7〉；d)〈N11－{0}，·11〉。1.求下列各群上的自同态。1)〈N8，+8〉；2)〈N6，+6〉；3)〈N5－{0}，·5〉；4)〈N7－{0}，·7〉。3.设f是群〈G1，*〉到〈G2，·〉的群同态，a∈G1。a与f(a)的阶一定相同吗？证明你的断言。4.设H1和H2是群G的子群，证明H1∩H2也是G的子群。H1∪H2是G的子群吗？证明你的断言。5.设H是群G的非空子集，并且H中每个元素的阶都有限，则H为

14、G的子群的充分必要条件是H关于G的乘法封闭。6.设f和g均为群G1到G2的群同态，令H={a∈G1

15、f(a)=g(a)}证明H是G1的子群。7.设G是群，H和K是G的子群。a)HK和KH必为G的子群吗？试证明或给出反例；b)HK是G的子群，当且仅当HK＝KH。8.设〈G，*〉