抽象代数重要定理和习题

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1、河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述有限群论是群论的基础部分，也是群论中应用最为广泛的一个分支。历史上，抽彖群论的许多概念起源于有限群论。近年来，随着有限群理论的迅速发展，其应用的日益增多，有限群论已经成为现代科技的数学基础之一，是一般科技工作者乐于掌握的一个数学工具。有限群论无论是从理论本身还是从实际应用来说，都占有突出地位,它中的置换群、可解和非可解群、幕零群、以及群表示论等等,都是重要的研究对象，总之，其内容十分丰富而且庞大。有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦

2、、若尔当等人的名字相联系的。1829年伽罗瓦（Galois）引入了置换群的概念,并成功地解决了一个方程可用根式求解的充要条件。置换群是群论历史上最先知道的一种具体的群。拉格朗日和高斯在研究数论中的二次型类是岀现过交换群的概念;Cayley（凯莱）曾经在1849年提出过抽象群，但这个概念的价值当吋没有被认识到，远远超越时代的Dedekind（戴徳金）在1858年给有限群下了一个抽象的定义，这个群是从置换群中引导出来的,他又在1877年提出了一个抽象的有限交换群。Kronecker（克罗内克）也给出了一个相当于Abel群

3、的定义,他规定了抽象的元素，运算，封闭性，结合性，交换性。以每个元素的逆运算的存在和唯一。他还证明了一些有关群的定理。1878年乂是凯莱提出了一个群可以看作一个普遍的概念。毋需只限于置换群,这样认识到抽彖群比置换群包含更多的东西。德国数学家赫尔德在1889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个（n＞二5）文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有艰的单群。赫尔徳和若尔当述建立了在有限群中的若尔当一赫尔德合成群列和若尔当一赫尔德定理。在19世纪末，德国数学家弗罗贝尼

4、乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞徳等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞徳证明的关于p"qb（p,q是素数）必是可解群的定理，导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想（伯恩塞德猜想）；奇数阶群一-定是可解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经过上百名数学家约百年的共同努马中骐•群论习题精解1981年得到解决，这是数学史上的一个非凡成就。《近世代数基础（修订木）》是张禾瑞同志1952年著《近世代数基础》的修

5、订木，内容除第一版屮的基本概念、群论、环与域、整环里的因子分解等四章外，还增加了关于“护域”的内容。这木书可作为综合大学数学系和高等师范院校有关专业的教学参考书。齐晓梅，乔凤珠的《近世代数基础问题探析》包含了许多与有限群相关的知识，并且介绍了不同阶数的同构群。马中骐的《群论习题精解》是《物理学中的群论》配套的习题集，主要包括群的基本概念、群的线性表示理论、三组转动群、晶体的对称性、置换群、SU（N）群、SO（N）群和洛伦兹群、李群和李代数。习题的亲手演算对于掌握群论的理论内容和计算方法都是必不可少的。有限群Sylow

6、-定理拉格朗日定理指出，如果G是一个n阶有限群，M是G的m阶子群，那么m整除n.这个定理的逆定理是假命题.但是，Sylow■定理表明，事实上如果除了假设m是一个素数p的方幕，则G有ni阶子群.并且如果m是能整除n的p的最大方幕，则G的所有m阶子群在G屮共辘.一个非空群G被称为p■群，如果其屮每个元素的阶都是p(即

7、g

8、=//,r是正整数，g是G中任意元)•一个群的任何一个子群本身就是一个群G的p-子群.一个p■子群被称为一个Sylowp■子群，如果它不完全包含在任何其他的p■子群中，即它是最大的p■子群.给出以下的S

9、ylow■定理定理I(1)设G是一个有限群，且

10、G

11、二//加，其中p为素数，k为非负整数，m是正整数.证明：G有//阶子群；(2)任何阶为的p■子群都存在阶为//的p・子群，对于所有的k,只要//刊整除G的阶.证明：(1)设G=n=pkm,对n进行归纳.当n=l时

12、G

13、=p°-l,此时G有1阶子群{c},结论成立.假设对阶小于n的群结论成立，下证对n阶群G成立，其中G=n=pkm.令C为群G的中心，且假设k>,下面分两种情况讨论.1)p

14、

15、C

16、,此时C有p阶元，从而(a)是&的正规子群，且G/(a)=m=p

17、k~}m

18、H/(a)

19、=丄红=凹，其屮H为G的子群，且由上式知

20、H

21、=pk.1(^)1P2)p不整除

22、C

23、,此时ChG,故由群G的类等式

24、G冃C

25、+£[G:N(q)],及p

26、

27、G

28、,/=1p不整除

29、C

30、知,至少有一个[G:N(q)]不能被P整除，不妨设为[G:N(dJ],则由于