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1、数学分析、高等代数、解析几何、中学数学建模、离散数学、高等几何、概率统计、竞赛数学、运筹学、数学教学实践、初等代数研究、初等几何研究、教法研究、计算机辅助教学、教育学、教育心理学、大学英语等。《抽象代数基础》于延栋编盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月第一章群论§1代数运算1.设,上的乘法的乘法表如下:·证明:适合结合律.证明设为中任意三个元素.为了证明适合结合律,只需证明.下面分两种情形来阐明上式成立.I.中至少有一个等于.当时,;当时,;当时,.II.都不等于.(I).这时,.(II)两两不等.这时,.(III)中有且仅有两个相等.当时,和是
2、中的两个不同元素,令表示中其余的那个元素.于是,,,从而,.同理可知,当或时,都有.2.设是集合上一个适合结合律的代数运算.对于中元素,归纳定义为:,.证明:.进而证明:在不改变元素顺序的前提下,中元素的乘积与所加括号无关.证明当时,根据定义,对于任意的正整数,等式成立.假设当()时,对于任意的正整数,等式成立.当时,由于适合结合律,我们有.所以,对于任意的正整数和,等式成立.考察中任意()个元素:当时,要使记号变成有意义的记号,必需在其中添加一些括号规定运算次序.现在我们来阐明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添加括号,运算结果总是等于.
3、事实上,当或时,无需加括号,我们的结论自然成立.当时,由于适合结合律,我们的结论成立.假设当()时我们的结论成立.考察的情形:不妨设最后一次运算是,其中为中前()个元素的运算结果,为中后个元素的运算结果.于是,根据归纳假设,,.所以最终的运算结果为.3.设是有理数集.对于任意的,令,证明:是上的一个代数运算,它既不适合结合律也不适合交换律.证明众所周知,对于任意的,.所以是上的一个代数运算.令,,.由于,,从而,,所以不适合结合律.由于,,.从而,.所以不适合交换律.§2群的概念1.证明:关于矩阵的加法构成一个群.证明首先,众所周知,,,.由于矩阵
4、的加法适合结合律,上的加法适合结合律.其次,令,则,并且,.最后,对于任意的,令,则且.所以关于矩阵的加法构成一个群.2.令,证明:关于矩阵的乘法构成一个群.证明将记作,并将中其余三个矩阵分别记作.于是,上的乘法表如下:·EABCEEABCAAECBBBCEACCBAE由于矩阵的乘法适合结合律,上的乘法适合结合律.从乘法表可知,,,.所以关于矩阵的乘法构成一个群.3.在整数集中,令,.证明:关于这样的乘法构成一个群.证明对于任意的,我们有,,从而.这就是说,该乘法适合结合律.其次,,并且对于任意的,我们有,.所以关于该乘法构成一个群.4.写出的乘法
5、表.解,的乘法表如下:·5.设是一个群,证明:适合消去律.证明设.若,则.同理,若,则.这就表明,适合消去律.6.在中,令,.求和.解我们有,,.7.设,求.解我们有.8.设是任意一个置换,证明:.证明事实上,易见,是中的个不同的数字.由直接计算可知,;.其次,对于任意的,在之下的像是本身.所以.9.设是一个非空集合,是上的一个代数运算,若适合结合律,则称是一个半群(或者称关于构成一个半群).证明:整数集关于乘法构成一个半群,但不构成一个群.证明众所周知,是非空集合,对于任意的,总有,并且整数乘法适合结合律,所以关于乘法构成一个半群.其次,令.于是
6、,对于任意的,总有.但是,,并且不存在,使得.所以关于乘法不构成一个群.10.设是一个非空集合,是由的所有子集构成的集合.则集合的并是上的一个代数运算.证明:是一个半群.证明众所周知,对于任意的,总有.这就是说,上的代数运算适合结合律,所以是一个半群.注请同学们考虑如下问题:设是一个非空集合,是由的所有子集构成的集合.定义上的代数运算(称为对称差)如下:,.求证:是一个交换群.11.令.证明关于矩阵的乘法构成一个半群.证明众所周知,对于任意的,总有,.这就是说,矩阵的乘法是上的一个代数运算,并且适合结合律,所以关于矩阵的乘法构成一个半群.12.设是
7、一个半群,称为的一个左(右)单位元,如果对于任意的都有().对于,如果存在使(),则称左(右)可逆的,是的一个左(右)逆元.假设有左(右)单位元且中每个元素都有关于的左(右)逆元.证明:是一个群.证明设是中任意一个元素.任取,使得.再任取,使得.于是,我们有且.因此.所以.由以上两式可知,是单位元,中每个元素都有逆元.所以是一个群.对于有左单位元且中每个元素都有关于的左逆元的情形,请同学们自己证明.13．设是一个群,证明:,.证明对于任意的,我们有,.所以,.16.设是一个群,证明:是交换群的充要条件是,.证明必要性是显然的.现在假设满足该条件.于
8、是,对于任意的,我们有,即.运用消去律(第5题)立即可得.所以是交换群.17．设是一个群.假设对于任意的都有,证明:是交换
