浅谈抽象代数的应.doc

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1、浅谈抽象代数的应用1引言代数学作为数学的一个重要分支，有着悠久的历史。早期代数学的研究对象是具体的,以方程根的计算为研究中心。那时人们已经能够用根式来求解四次以下的方程的根。此后几乎经历了三百年的时间，数学家们企图用用根式解一般的五次方程而没有成功。阿贝尔(N.H.Abel)在1824年证明了高于四次的一般方程不能用根式求解。伽罗瓦(E.Galois)在1829-1831年间完成的论文中,基于其提出的群(置换群)的概念,建立了代数方程可用根式求解的充要条件。从而彻底解决了代数方程用根式求解这一近三百年的数学难题。伽罗瓦提出的“群”概念,导致了

2、代数学在研究对象、研究方法上的深刻变革,一系列新的代数领域被建立起来。1930—1931年范·德·瓦尔登(B．L．vanderWaerden，1903—)的《近世代数学》一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流。一个集合及其上的代数运算构成一个代数结构(代数系统),抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构,它是在从较高层次上,撇开形式上很不相似的代数结构的个性,抽象出其共性,用统一的方法描述、研究与推理,从而得到一些反映事物本质的结论,再把它们应用到具体的系统中去。由于代数结构中运算的个数以及对运算性质要求

3、的不同,从而产生了各种各样的代数结构,这就形成了抽象代数的不同分支,其中最基本、最重要的分支是群、环和域。由于代数运算贯穿于任何数学理论与应用中,以及代数运算和其中元素的一般性,抽象代数的研究在数学里是基础性的,其研究方法与结论已渗透到与之相近的数学学科中去。不仅如此,抽象代数还为现代物理学、现代化学以及计算机科学、现代通信与密码学提供了语言,其研究方法与重要结论在上述领域都有重要应用。抽象代数不仅是计算机科学中广泛使用的数学工具,而且成为计算机科学的理论基础之一,如自动机理论、形式语言、数据结构、密码学以及逻辑电路设计、编码理论等。作为量子

4、力学的奠基人之一，狄拉克曾经说过“现代物理学日益需要抽象数学及对其基础的探讨。因此，非欧几何与非交换代数曾被视为只是一种虚构的结果或只具有逻辑推理的魅力，而现在已被人们认识到，它们是描绘物理世界一般图画的不可缺少的工具。”本文首先介绍了一些抽象代数的基本概念，然后重点分析了它在数学及其他学科的应用，以掌握其核心的思维方法。2基本概念简单来说，抽象代数涉及基本概念主要包括代数结构、群、环、域。下面我们就从这些概念的来源、定义和实例等几个方面来逐一介绍。2.1代数结构代数结构是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合，它包含集合及符合某些公理的运算

5、或关系。它主要研究集合上的抽象运算及运算的性质和结构。研究抽象代数的基本特征和基本结构，不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领域。定义设S是一个非空集合,f1,f2,…,fn是S上的n个代数运算,则S与n个运算所组成的结构称为代数结构(AlgebraicStructure)或代数系统(AlgebraicSystem),记为。根据上述定义,一个代数结构需满足如下两个条件：1)有一个非空集合S,称为载体;2)一些定义在载体S上的运算。设S为一非空集合,*为S上满足结合律、交换律的二元运算,那么为代数结

6、构,称为抽象代数结构,即为一类具体代数结构的抽象,例如,,等都是的具体例子。其中，N,Z分别位自然数集合、整数集合，+，*为一般加与乘运算。代数结构是多种多样的，如何辨认哪些代数结构在本质上是一样的，哪些代数结构在本质上是不同的？这样，对于本质相同的一类代数结构只需要研究其中一个就可以了解其它的代数结构。这就涉及到代数结构的判定问题，这里就不在具体叙述。2.2群群是抽象代数中发展最早、内容最广泛、应用最充分的一部分，是建立其它代数结构的基础。群论的研究起源于对置换群的研究，随后，发现大多数问题中，

7、重要的不是构成群的置换本身，而应该是集合在代数运算下的性质，因而提出了一般群的概念，这扩大了群论研究的对象与应用，丰富了群论研究的方法。定义设为代数结构，其中G是一个非空集合，*是G上的一个二元运算，若1)运算*满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)，∀a，b，c∈G，2)运算*存在单位元e∈G：e*a=a*e=a，∀a∈G，3)对任意a∈G，存在逆元a-1∈G，使得则称代数结构是一个群(Group)。例如整数集Z关于数的加法均构成群，常称为整数加群。有理数集Q、实数集R关于数的加法也构成群。这三个群均是交换群。整数

8、集Z对于数的乘法不构成群，尽管数的乘法是Z上的代数运算且满足结合律，也有单位元1，但除1、-1外的其它任何整数在Z中均没有逆元。实数集R对普通乘法不能构成群，但R-