2018年高二数学：圆锥曲线的综合问题.doc

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1、2018年高二数学：圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系

2、是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x1－x2

6、＝·＝·

7、y1－y2

8、＝·.1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)(3)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点．(　　)(4)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点．(　　)答案：(1)√　(

9、2)×　(3)×　(4)√2．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)A．相交　　　　　　　　　B．相切C．相离D．不确定解析：选A　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)A．1B．2C．1或2D．0解析：选A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C　结合图形分析可知，满足题意的直线共有

10、3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．5．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)A．－3B．－C．－或－3D．±解析：选B　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.故·的值为－.　　　　有关直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要涉及两种题型

11、：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题.解答此类问题的一般方法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，进而转化为一元二次方程，利用判别式和根与系数的关系来求解，难度中等.[典题领悟]1．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)A.　　　　　　B.C.D.解析：选D　由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得－＜k＜－1，即k的取值范围是.2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(

12、1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根

13、，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．[解题师说]1．方法要熟直线与圆锥曲线位置关系的判定方法代数法即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标几何法即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数2．结论要记(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．(2)