圆锥曲线的综合问题师.doc

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1、圆锥曲线的综合问题一.知识清单1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即，消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线

2、C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x1－x2

6、＝·＝·

7、y1－y2

8、＝·3：两种思想的应用:设而不求思想，方程的思想[来设源:Z

9、xx

10、k.Com]3二：重难点突破1.直线与圆锥曲线的位置关系例1-1　.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右

11、焦点F的最短距离为－1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点E(2,0)且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于M，N两点，P是点M关于x轴的对称点，证明：N，F，P三点共线．(1)解：由题可知解得a＝，c＝1，∴b＝1.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设直线l为y＝k(x－2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x1，－y1)，F(1,0)，由得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.而＝(x2－1，y2)＝(x2－1，kx2－2k)，＝(x1－1，－y1)＝

12、(x1－1，－kx1＋2k)．∵(x1－1)(kx2－2k)－(x2－1)(－kx1＋2k)＝k[2x1x2－3(x1＋x2)＋4]＝k＝0，∴∥.∴N，F，P三点共线．例1-2：给出双曲线x2－＝1.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解　(1)设弦

13、的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以直线斜率k＝＝4.故求得直线方程为4x－y－7＝0.(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得＝，①由于P1，P2，P，A四点共线，得＝，②由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.(3)假设满

14、足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线m是不存在小结：(1)求圆锥曲线方程，一般是根据已知条件建立方程组求a，b的值；(2)研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．2.定点定值问题例2-1：平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同A，B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．(1)解　由题意：抛物线

15、焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)证明　设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b

16、)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l必过一定点．例2-2　.已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且

17、F1F2

18、＝2，∠F1PF2＝，△F1PF2的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)点M的坐标为，过点F2且斜