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1、课时作业(四十二)一、选择题1．对空间任意一点O，若＝＋＋，则A，B，C，P四点( )A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．与O点的位置有关解析：＋＋＝1，∴P点在A，B，C所在的平面内．答案：B2．若平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断解析：因为a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，所以a·b＝0，即a⊥b，所以α⊥β.答案：B3．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的
2、中点，则a2等于( )A．2·B．2·C．2·D．2·解析：〈，〉＝，∴2·＝2a2×cos＝a2.答案：B4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于( )A.B.C.D.解析：由于a、b、c三向量共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即有解得m＝，n＝，λ＝.答案：D5．(2012年晋中调研)如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )A．0B.C.D.解析：设＝a，＝b，＝c由已知条件〈a，b〉＝〈
3、a，c〉＝，且
4、b
5、＝
6、c
7、，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝
8、a
9、
10、c
11、－
12、a
13、
14、b
15、＝0，∴cos〈，〉＝0.答案：A6．(2012年陕西)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )A.B.C.D.解析：不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)．∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．cos〈，〉＝＝＝，故选A.答案：A二、填空题7．如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的
16、中点，若＝λ(＋)，则λ＝________.解析：如图所示，取AC的中点G，连接EG，GF，则＝＋＝(＋)．∴λ＝.答案：8．设向量a＝(－1,3,2)，b＝(4，－6,2)，c＝(－3,12，t)，若c＝ma＋nb，则t＝________，m＋n＝________.解析：∵ma＋nb＝(－m＋4n,3m－6n,2m＋2n)，∴(－m＋4n,3m－6n,2m＋2n)＝(－3,12，t)．∴解得∴m＋n＝.答案：11 9．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直
17、线C1D与A1C所成角的余弦值为________．解析：以A为原点建立空间直角坐标系，如图，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，则＝(1，－1，－1)，＝(0,1，－2)，
18、
19、＝，
20、
21、＝，·＝1，cos〈，〉＝＝，故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为答案：三、解答题10．已知向量b与向量a＝(2，－1,2)共线，且满足a·b＝18，(ka＋b)⊥(ka－b)，求向量b及k的值．解：a，b共线，则存在实数λ，使a＝λb，∴a·b＝λa2＝λ
22、a
23、2＝λ[]2＝18，∴λ＝2.∴b＝(4，－2,
24、4)．∵(ka＋b)⊥(ka－b)，∴(ka＋b)·(ka－b)＝0.∴(ka＋2a)·(ka－2a)＝0.∴(k2－4)
25、a
26、2＝0.∴k＝±2.11．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值．解：(1)因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，
27、b＋c＝(1，－6,1)，设(a＋c)与(b＋c)所成角为θ，因此cosθ＝＝－.12．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．解：设＝a，＝b，＝c.则
28、a
29、＝
30、b
31、＝
32、c
33、＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)＝＝c－a，＝－a，·＝(c－a)·(－a)＝－c·a＋a2＝－×＋＝.(2)＝b－c，·＝·(－a)＝a2－a·c＝，·＝(c－a)·(b－c)＝(b·c－a·b
34、－c2＋a·c)＝－；(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c，
35、
36、2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则
37、
38、＝.(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cos〈，〉＝＝－，由于异面直线所成角的范围是(0°，9
