球与多面体的切接关系.ppt

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1、球与多面体的切、接关系§1正方体与球动画显示一、正方体的内切球位置关系描述：球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点。正方体的中心即为球心。相对两个面中心连线即为球的直径。球叫做“正方体的内切球”，正方体叫做“球的外切正方体”。o图形度量关系球的直径等于正方体棱长。一、正方体的内切球例题1求棱长为2的正方体的内切球的表面积解：因球与正方体内切，所以，球的直径等于正方体棱长，即即时练习：一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）C动画显示二、球与正方体的棱相切位置关系描述：度量关系图形二、球与

2、正方体的棱相切球与正方体的12条棱都相切，各棱的中点即为切点。正方体中心即为球心。“对棱”中点连线即为球的直径。球的直径等于正方体一个面上的对角线长即时练习：在一个空的正方体框架内放置一球，若正方体棱长为a,则此球的最大体积是动画显示三、正方体的外接球图形位置关系描述：度量关系三、正方体的外接球正方体的8个顶点在同一个球面上。正方体的中心即为球心。球叫做“正方体的外接球”，正方体叫做“球的内接正方体”。正方体的（体）对角线等于球直径____________课堂练习正方体的内切球与外接球半径的比是B正方体的全面积

3、是，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是若球面内接正方体对角面面积为，设球面内接正方体的棱长为a，则对角面面积为解：例题2求球的表面积§2长方体与球一、长方体的外接球位置关系描述：长方体的8个顶点在同一个球面上。长方体的中心（对角线的交点）即为球心。球叫做“长方体的外接球”，长方体叫做“球的内接长方体”。度量关系长方体的（体）对角线等于球直径图形长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，那么，这个球的表面积是()C思考：一般的长方体有内切球吗？没有。一个球在长方体内部，最多可

4、以和该长方体的5个面相切。如果一个长方体有内切球，那么它一定是正方体课堂练习例如，装乒乓球的盒子如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面积与正方体表面积的比为（）将半球补成整球由长方体内接于球知：所以，选B分析1B例题3则两个同样的正方体对接构成的长方体就内接于这个球。设正方体棱长为a，则所得长方体对角线长为如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为变式练习求半球的表面积和体积．答案：半球的表面积为27π，半球的体积为18π.分析2OABOAB

5、设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.设正方体棱长为a，易知：例题4在半径为R的球面上任取一点，过该点作两两互相垂直的三条弦，求证：这三条弦的平方和为定值。POABCDO1证明设过球O上一点P，作三条互相垂直的弦PA、PB、PC，如图所示设PB、PC所在的平面与球O相交于小圆⊙O1，因为PB与PC垂直，所以，BC为小圆⊙O1直径。连结PO1并延长交⊙O1于D，连结OO1.则OO1⊥平面⊙O1。易知PA⊥平面⊙O1，在小圆⊙O1中，在大圆⊙O中，所以，OO1∥PA，所以球心

6、O在A、P、D三点所确定的圆面内，即过A、P、D的圆面是球的大圆。又PA⊥PD，∴AD为该大圆的直径（即O为AD的中点）。点P在直径为的球面上，过P作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是（）巩固练习设三条弦长分别为a、b、c，且c=2b,则：D§3球与棱锥切接问题举例（1）球与正四面体正四面体P---ABC的棱长为a，求它的外接球半径R和内切球半径r分析：和正方体类似，任何一个正四面体都有一个外接球和一个内切球设其外接球的球心为O，则O到四

7、个顶点的距离都相等即R。那么，点O在什么地方呢？由于P---ABC为正四面体，所以，点P在底面ABC上的射影H即为正ΔABC的中心，而点H到顶点A、B、C的距离都相等。解：OPABCDKH取BC中点D，连结AD、PD，在ΔPAD中，过P作PH⊥AD，则PH⊥底面ΔABC。∵D为BC中点，∴AD⊥BC,PD⊥BC,∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PH;又PH⊥AD,∴PH⊥底面ΔABC.在ΔPAD中，过A作AK⊥PD，则AK⊥平面ΔPBC那么，正四面体的两条高PH与AK的交点即为球心O。当点H沿着线段PH向上移动至P

8、时，仍然满足到三顶点A、B、C的距离相等。据此，可猜想球心O应在正四面体的高PH上；同理，球心O也在正四面体的其它顶点引发的高上。设另一条高为AK，则PH与AK的交点即为球心O。你知道理由吗？OPABCDKH连结HK，∴KH∥PA∴ΔKHO∽ΔAPO显见，内切球的球心也是这个点O，即正四面体的外接球与内切球是同心球。而且，OP=OA=R,OH=OK=r特别提醒：同学们只要记住如下关系式