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1、★高中数学必修模块5第10期第三章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（诠释重点直击热点）目标函数的几何意义解决简单线性规划问题的方法是图解法.求目标函数的最值、取值范围等问题，应转化为在可行域中求解，并充分挖掘目标函数的几何意义.一、运用直线的截距x+2y-l>0,例1：己知z=且满足线性约束条件x-y+2>0,求z的最大值和最小值.2x+y-5<0,分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解析：作出可行域如图1所示，AABC内
2、部及边界上的点的坐标为可行解，作出直线x-y=0,易知，线段AB上的点使z収最小值的最优解，故把（0,2）代入得Sin=一2.IfljC点是使Z取最大值的垠优解，解方程组]X+2}_1=0,得C（3,—1）,[2x4-y-5=0,・•・Owe=3一（一1）=4・点评：1•对线性目标函数z=Ax+By（?1>0）中的B的符号一定要注意，当B>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在v轴上截距最小时，z值最小；当B<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2•若
3、最优解有无穷多个，则目标函数所表示的直线与可行域的一条边平行或重合.2x+y<40,变式：（2008•广东）若兀,y满足0,y>0,则？=3x+2y的最大值是（）A.90B.80C.70D.40解析：作出可行域如图2所示，作出直线3a-+2y=0,易知人点是使z取最大值的最优解，f2x+v=40,山彳解得A（10,20）,Z.召址=70,[x+2y=50,max答案：c.点评：可从几何角度理解Z的最大值，此题中，Z为直线在纵轴上的截距，直线在纵轴上的截距越大，Z值越大.二、运用直线的斜
4、率、两点距离公式(或平方)、点到直线的距离例2：已知一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内,求：(1)点(a,b)対应的平面区域；(2)加=
5、2d+b—l
6、的取值范围；JC(3)n=l的取值范围；(4)q=(a-)2+(b-2)2的収值范围；a-分析：由一元二次方程根的分布情况求出满足的条件，充分理解目标函数的几何意义是解决此题的关键.解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)内的儿何意义是：函数y=f(x)=x2+ax+2b与
7、兀轴的两个交点的横坐标分别在(0,1)和(1,2)内，曲此得不等式组0,a+b+2>0.ci+2b+1=0,a+Z?+2=0,解得A(-3,1)；由b=0,d+/?+2=0,2a+b-l=0(图3)得B(—2,0)；山f_0,解得C(-1,[cz+2b+1=0,0).(1)在如图3所示的aOb坐标平而内，满足满足约束条件的点(a,b)对应的平而区域为△ABC(不包括边界).(2)肌=如+0-1
8、=也护亦，其几何意义为区域内的点到直线2d+b-1=0的距离的厉
9、倍，显然点A,点C分别是到直线2a+b-=0的最大、最小值,此时jax=6，令油=2，•••血w(2,6)•(3)n-h-22-11二——的儿何意义点(Q")和点D(1,2)连线的斜率•因为kw=——=-a-1+34-1+]-h-21=1,山图3可知―)10、把直线、线性规划问题、方程等知识点结合起来，在求解是要注意“几何问题代数化，代数问题几何化”的转化思想的应用.无一y+220,变式：已知｛尤+，一4二0,求(l)z=Jt+2y—4的最大值；(2)/h=x2+/-10y+252x-y-5<0.的最小值；(3)斤=习出的范围.尤+1解析：作出可行域如图4所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).(1)易知可行域内各点均在直线x+2y—4=0的上方，故将C(7,9)代入得z的最大值为21.(2)m=x~+y2-10y+25=x2+(y-5)2
11、方,易知M点到直线AC距离就是m的最小值，故mm.n3a/2~T~表示可行域内任一点(兀,刃与点M(0,5)距离的平2y+lx+l=2y二(~°・5)衣示可行域内任一点(忑y)与定点Q(_l,_0.5)连线的斜X—(―1)7337率的两倍，因为kQ、=—,ICqb=—,故HG(—,—).4842点评：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率.
