目标函数的几何意义

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1、★高中数学必修模块5第10期第三章不等式3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（诠释重点直击热点）目标函数的几何意义解决简单线性规划问题的方法是图解法．求目标函数的最值、取值范围等问题，应转化为在可行域中求解，并充分挖掘目标函数的几何意义．一、运用直线的截距例1：已知，且满足线性约束条件求的最大值和最小值．分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．（图1）解析：作出可行域如图1所示，△ABC内部及边界上的点的坐标为可行解，作出直线，易知，线段AB上的点使取最小值

2、的最优解，故把（0，2）代入得．而C点是使取最大值的最优解，解方程组得C（3，－1），∴．点评：1.对线性目标函数（）中的的符号一定要注意，当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大．2.若最优解有无穷多个，则目标函数所表示的直线与可行域的一条边平行或重合．变式：（2008·广东）若满足则的最大值是（）A.90B.80C.70D.40（图2）解析：作出可行域如图2所示，作出直线，易知A点是使3取最大值的最优解，由解得A（10，20）

3、，∴，答案：C．点评：可从几何角度理解的最大值，此题中，为直线在纵轴上的截距，直线在纵轴上的截距越大，值越大．二、运用直线的斜率、两点距离公式（或平方）、点到直线的距离例2：已知一元二次方程有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点对应的平面区域；（2）的取值范围；（3）的取值范围；（4）的取值范围；分析：由一元二次方程根的分布情况求出满足的条件，充分理解目标函数的几何意义是解决此题的关键．解析：方程的两根在区间（0，1）和（1，2）内的几何意义是：函数与轴的两个交点的横坐标分别在（0，1）和（1

4、，2）内，由此得不等式组即由解得A（－3，1）；由解得B（－2，0）；由解得C（－1，0）．（1）在如图3所示的坐标平面内，满足满足约束条件的点对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．（2），（图3）其几何意义为区域内的点到直线的距离的倍，显然点A，点C分别是到直线的最大、最小值，此时，，∴．（3）的几何意义点和点D（1，2）连线的斜率．因为，由图3可知，∴．（4）因为表示区域内的点3和点D（1，2）之间的距离的平方，其最小值为，最大值为，∴．点评：本题把直线、线性规划问题、方程等知识点结合起来，在求解是要注意“几何问题代数化，代

5、数问题几何化”的转化思想的应用．变式：已知求：（1）的最大值；（2）的最小值；（3）的范围．解析：作出可行域如图4所示，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．（图4）（1）易知可行域内各点均在直线的上方，故将C（7，9）代入得的最大值为21．（2）表示可行域内任一点与点M（0，5）距离的平方，易知M点到直线AC距离就是的最小值，故．（3）表示可行域内任一点与定点Q连线的斜率的两倍，因为，，故．点评：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率．3