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时间:2018-08-06
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1、★高中数学必修模块5第10期第三章不等式3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(诠释重点直击热点)目标函数的几何意义解决简单线性规划问题的方法是图解法.求目标函数的最值、取值范围等问题,应转化为在可行域中求解,并充分挖掘目标函数的几何意义.一、运用直线的截距例1:已知,且满足线性约束条件求的最大值和最小值.分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(图1)解析:作出可行域如图1所示,△ABC内部及边界上的点的坐标为可行解,作出直线,易知,线段AB上的点使取最小值
2、的最优解,故把(0,2)代入得.而C点是使取最大值的最优解,解方程组得C(3,-1),∴.点评:1.对线性目标函数()中的的符号一定要注意,当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最大,在轴上截距最小时,值最小;当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最小,在轴上截距最小时,值最大.2.若最优解有无穷多个,则目标函数所表示的直线与可行域的一条边平行或重合.变式:(2008·广东)若满足则的最大值是()A.90B.80C.70D.40(图2)解析:作出可行域如图2所示,作出直线,易知A点是使3取最大值的最优解,由解得A(10,20)
3、,∴,答案:C.点评:可从几何角度理解的最大值,此题中,为直线在纵轴上的截距,直线在纵轴上的截距越大,值越大.二、运用直线的斜率、两点距离公式(或平方)、点到直线的距离例2:已知一元二次方程有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:(1)点对应的平面区域;(2)的取值范围;(3)的取值范围;(4)的取值范围;分析:由一元二次方程根的分布情况求出满足的条件,充分理解目标函数的几何意义是解决此题的关键.解析:方程的两根在区间(0,1)和(1,2)内的几何意义是:函数与轴的两个交点的横坐标分别在(0,1)和(1
4、,2)内,由此得不等式组即由解得A(-3,1);由解得B(-2,0);由解得C(-1,0).(1)在如图3所示的坐标平面内,满足满足约束条件的点对应的平面区域为△ABC(不包括边界).(2),(图3)其几何意义为区域内的点到直线的距离的倍,显然点A,点C分别是到直线的最大、最小值,此时,,∴.(3)的几何意义点和点D(1,2)连线的斜率.因为,由图3可知,∴.(4)因为表示区域内的点3和点D(1,2)之间的距离的平方,其最小值为,最大值为,∴.点评:本题把直线、线性规划问题、方程等知识点结合起来,在求解是要注意“几何问题代数化,代
5、数问题几何化”的转化思想的应用.变式:已知求:(1)的最大值;(2)的最小值;(3)的范围.解析:作出可行域如图4所示,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).(图4)(1)易知可行域内各点均在直线的上方,故将C(7,9)代入得的最大值为21.(2)表示可行域内任一点与点M(0,5)距离的平方,易知M点到直线AC距离就是的最小值,故.(3)表示可行域内任一点与定点Q连线的斜率的两倍,因为,,故.点评:充分理解目标函数的几何意义,如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率.3
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