《复数的几何意义》.doc

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1、3．1.2　复数的几何意义1．复平面．(1)定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．(2)实轴：x轴叫做实轴．(3)虚轴：y轴(除去原点)叫做虚轴．2．复平面内的点与复数的对应关系．(1)实轴↔实数．(2)虚轴(除原点)↔纯虚数．(3)各象限的点↔非纯虚数．3．复数的两种几何形式(点Z的横坐标是a，纵坐标是b)．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)↔向量．4．复数的模．向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作

2、z

3、＝．若b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模等于

4、a

5、．1．复

6、数2－3i对应的点在直线(C)A．y＝x上B．y＝－x上C．3x＋2y＝0上D．2x＋3y＝0上解析：2－3i对应的点(2，－3)，满足方程3x＋2y＝0.故选C.2．若＝(0，－3)，则对应的复数(C)A．等于0B．－3C．在虚轴上D．既不在实轴上，也不在虚轴上解析：对应的复数为－3i，在虚轴上．故选C.3．在复平面内，复数1－i对应的点与原点的距离是．解析：1－i对应的点为Z(1，－1)，

7、OZ

8、＝.(1)根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi(a、b∈R)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定．因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点集之间可以建立

9、一一对应的关系．(2)基本概念．①复平面：建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面．②实轴：坐标系中的x轴叫实轴．在它上面的点都表示实数．③虚轴：坐标系中的y轴叫虚轴．除去原点外，在它上面的点都表示纯虚数．注：(1)习惯上，用大写字母Z表示点，小写字母z表示复数．(2)复数z＝a＋bi用复平面内的点Z(a，b)表示，复平面内点Z的坐标是(a，b)，而非(a，bi)．例如，复平面内的点(－2，3)表示复数－2＋3i；反之，复数－2＋3i对应复平面内的点的坐标是(－2，3)．(1)复数与点对应．每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯

10、一的一个复数和它对应．因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．(2)复数与向量的应用．在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，向量是由点Z唯一确定的；反过来，点Z也可以由向量唯一确定．因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即复数z＝a＋bi平面向量.注：(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点，若起点不是原点，则复数与向量就不能建立一一对应关系．　　(2)常把复数z＝a＋bi

11、说成点Z(a，b)或说成向量.(3)规定：相等向量表示同一复数．(1)定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作

12、z

13、或者

14、a＋bi

15、.(2)求法：

16、z

17、＝

18、

19、＝.(3)模的几何意义：模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0，0)的距离．注：(1)实数0与零向量对应，故复数0的模为0.(2)模相等的两个复数未必相等．例如，

20、i

21、＝1＝

22、－i

23、，但显然i≠－i.1．复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)及向量的一一对应关系如下图所示．2．由复平面内适合某种条件的点的集合求其对应的复数时，通常是由对应关系列出方程(组)或不等式(组)，求得

24、复数的实部、虚部的取值(范围)来确定所求的复数．3．复数z＝a＋bi的模

25、z

26、＝，从几何意义上理解，表示点Z(a，b)和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：

27、z1－z2

28、表示复数z1和z2对应的点Z1和Z2之间的距离．4．复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用复数模的计算公式进行计算．由于复数的模是一个实数，所以复数的模可以比较大小．　　　　　　　　　　　　　　　　1．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为(D)A第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．复数z＝－i2对应的点在复平

29、面的(B)A．第一象限内B．实轴上C．虚轴上D．第四象限上3．(2013·重庆卷)已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则

30、z

31、＝．4．a取何值时，z＝(a2－2a－8)＋i(a∈R)对应的点Z：(1)在复平面的x轴的下方？(2)在直线x＋y＋8＝0上？解析：(1)点Z在复平面的x轴的下方，则＜0⇒a＜2，且a≠1.∴a＜2，且a≠－1时，点Z在复平面的x轴的下方．(2)点Z在直线x＋y＋8＝0上，则a2－2a－8＋＋8＝0⇒a3－3a－2＝0⇒a2－a－2＝0(a≠－1)⇒a＝2.∴a＝2时，点Z在直线x＋y＋8＝0上．