资源描述：
《§113导数的几何意义.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§1.1.3导数的几何意义教学目标1.了解平均变化率与割线斜率Z间的关系；2.理解
2、11
3、线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的儿何意义，并会用导数的儿何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：%1.创设情景(%1)平均变化率、割线的斜率(%1)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在尸心处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在a=%o附近的变化情况，导数广(x°)的几何意义是什么呢？%1.新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当璟暫J(£))S=1,2,3
4、,4)沿着曲线/(x)趋近于点P(x0,/(x0))时，割线卩亿的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,当点乙沿着曲线无限接近点P即AlO时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的肓线/T称为曲线在点戶处的切线.问题：⑴割线P化的斜率心与切线刃的斜率/:有什么关系？⑵切线刃的斜率R为多少？容易知道，割线的斜率是ku=“y无）,当点p沿着曲线无限接近点戶时，kn无召一兀0限趋近于切线的斜率k,即R=lim/（%+2）-'（心）=广（）心TO心说明：（1）设切线的倾斜角为。，那么当△D时,割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某
5、点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在x=x0处的导数.（2）1111线在某点处的切线：1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，羡至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数尸f（x）在尸必处的导数等于在该点（A0,/（A0））处的切线的斜率,即广（和=怙/5+山）-/（勺）斗°心toAa说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：%1求出尸点的坐标；%1求出函数在点心处的变化率广do）=lim/5）上
6、山）二/如）=k,得到曲线在点山Ar（x0,/（x0））的切线的斜率；%1利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数在尸抑处求导数的过稈可以看到，当时，广（X。）是一个确定的数，那么，当x变化时，便是x的一个函数，我们叫它为£3的导函数.记作：广（兀）或；/,即：广⑴*=讪"+3一爪）心->°心注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.（三）函数/（兀）在点心处的导数广◎（））、导函数广（切、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数f（xQ）,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点
7、％而言的，就是函数f（x）的导函数3）函数/（兀）在点兀。处的导数fO。）就是导函数广⑴在x=x0处的函数值，这也是求函数在点X。处的导数的方法Z—。%1.典例分析例1：(1)求1山线尸/U)二丿+1在点"(1,2)处的切线方程.(2)求函数j-3/在点(1,3)处的导数.解⑴A=hm=lim=2,心-»0AxAr所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方稈为)，-2=2(兀-1)即2x-y=O3r2-3I23(x2-l2)(2)因为y‘It=lim—=—=lim—=lim3(x+l)=6•ZXT1X-[ATI兀_1.V->1所以，所求切线的斜率为6,因
8、此，所求的切线方程为y-3=6(x-l)即6兀-y—3=0(2)求函数f{x)=-x2+x在x=-l附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：红-(-1+Ar)2+(-l+Ar)-2oA==3—Ar心Avm忸缶土r土9〜时W例2・(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动屮高度随时间变化的函数降,即函数/?(x)=-4.9x2+6.5x+10在t=t}附近单调递减.(3)当t=t2时,曲线加丁)在£处的切线厶的斜率W2)<0,所以,在r附近曲线下降,即函数h(x)=-4.9x2+6.5兀+10在t=t2附近单调递减.从图3.1-3可以看出，育•线人的倾斜
9、稈度小于胃•线厶的倾斜稈度，这说明曲线在人附近比在厶附近下降的缓慢・例3・（课本例3）如图3.1-4,它表示人体血管屮药物浓度c=f（t）（单位：加g/加厶）随时问f（单位：min）变化的图彖.根据图像，估计f=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管屮药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.解：血管屮某一时刻药物浓度的I瞬时变化率，就是药物浓度/⑴在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线/（/）在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出
10、11
11、线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作f=0.8处的切线,并在切线
12、上去两点，如（0.7,0.91）,（1.0,0.48）,则它的斜率
