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1、§1.13导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的儿何意义，并会用导数的儿何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：一.创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数）吋（兀）在处的瞬时变化率，反映了函数）=/W在x=x0附近的变化情况，导数广（勺）的几何意义是什么呢？二.新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率:如®3.1-2,当几（£j
2、（£））S=1,2,3,4）沿着曲线f（x）趋近于点P（x0,/（x0））时，割线PPn的变化趋势是什么？我们发现,当点代沿着曲线无限接近点PBPAx->0时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线PPn的斜率山与切线PT的斜率k有什么关系？⑵切线“的斜率R为多少？容易知道，割线PP„的斜率是ktl=/（%）二/代），当点Pn沿着曲线无限接近点P时,kn无限趋近于切线PT的斜率k,即£=lim,/（-宜山）二/（血）=广（勺）山toAy说明：（1）设切线的倾斜角为
3、a,那么当Ax-0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在X=无）处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线⑶曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，其至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数丿=/（x）在X=Xo处的导数等于在该点（x0,/（x0））处的切线的斜率，即心）=血心+山）-心
4、）斗U心TO心说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出P点的坐标；②求出函数在点忑处的变化率广do）=lim心）二/（乜）=k,得到曲线在心Aa点（x0,/（x0））的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（二）导函数：山函数.心）在4忌处求导数的过程可以看到，当时，广（X。）是一个确定的数，那么，当X变化吋，便是X的一个函数，我们叫它为7W的导函数.记作：广⑴或）/，注:在不致发生混淆时，导函数也简称导数.（三）函数/（X）在点九。处的导数广（兀（））、导函数广（无）、导数之间的区别与联系。（I）函数在
5、一点处的导数广（心），就是在该点的函数的改变量与白变昴的改变昴之比的极限，它是一个常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数（3）函数/（x）在点召）处的导数/（兀）就是导函数/'（兀）在x=x｛）处的函数值，这也是求函数在点兀处的导数的方法之一。一.典例分析例］:（1）求曲线y=/（x）=x2+l在点P（l,2）处的切线方程.（2）求函数尸3/在点（1,3）处的导数.解：（1）=lim心一＞0[(1+心尸+1]_(12+1)Ax/y=lim心t°Ay=2,所以，所
6、求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为歹-2=2（兀-1）即2兀一丁=0(2)因为y'l,3-'-=lim3(A—=lim3(x+1)=6"I—IX-l—IX-l3所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y-3=6（x-1）即6兀一『-3=0/?（x）=-4.9x2+6.5x+10,根据图像，请描述、比较曲线/2（f）在G、人、5附近的变化情况.解：我们用曲线加0在/（）、八、-处的切线，刻画曲线/2（f）在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当r=r0时，曲线〃（/）在厲处的切线％平行于兀轴，所以，在
7、/=山附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当r=人时，曲线/?（r）在儿处的切线/,的斜率畑＜0,所以,在t=t｛附近曲线下降,即函数h（Q=—4.9/+6.5x+10在t=t｛附近单调递减.（3）当t=t2时，曲线h⑴在t2处的切线12的斜率/?r（/2）＜0,所以，在t=t2附近曲线下降，即函数/?（x）=-4.9x2+6.5x4-10在从图3.1-3W以看出，直线厶的倾斜程度小于直线厶的倾斜程度，这说明曲线在人附近比在丫2附近下降的缓慢.例3・（课本例3）如图3.14它表示人体血管中药物浓度c=/（/）
8、（单位：mg/mL）随时间f（单位：min）变化的图象.根据图像，估计/=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.c(mg/mL)解：血管屮某-吋刻药物浓度的瞬吋变化率，就是药物浓度/（f）在此时刻的导数，从图（2）求函数＞W=~x2+x在无=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解：加-(-1+Ax)2+(-1+Ax)-2=;=3-AxAx
