因式分解、分式、数的开方.doc

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1、二、因式分解、分式、数的开方【知识回顾】提公因式法1、知识脉络（教材相应章节重要内容的结构与联系）公式法因式分解分组分解法十字相乘法通分分式的基本性质约分实际问题分式的乘除分式分式运算分式的加减平方根二次根式化简计算立方根数的开方2、基础知识（教材相应章节重要内容整理）（1）因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式．（2）因式分解的方法：①提公因式法：；②公式法：；；③十字相乘法：；，（≠０）．④分组分解法：分组以后能提公因式或利用公式分解，从而把原多项式因式

2、分解．（3）分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的代数式叫做分式．分式有意义的条件是分母不等于零；分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．（4）分式的基本性质：（其中M是不为零的整式）．（5）分式的运算与分数的运算相仿．（6）平方根与算术平方根的概念：如果，那么的平方根，记作，其中叫做的算术平方根．（7）立方根的概念：如果那么叫做的立方根，记为（8）二次根式概念：形如的式子叫二次根式．（9）最简二次根式：满足下列两个条件，被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含有能

3、开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．（10）同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（11）相关性质：；．（12）二次根式的运算：①加、减运算：先把每个二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式．②乘、除运算：是积、商性质的逆向应用．运算结果中每一个二次根式都应是最简二次根式．3、能力要求例1　在二次根式①，②，③，④是同类二次根式的是　　　　（　　）．A．①③　　　　　　B．②③　　　　　C．①④　　　　D．③

4、④【分析】解答本题的关鍵是能正确化简题中的四个二次根式，然后根据被开方数是否相同来选择与是否为同类二次根式．【解】∵．∴与是同类二次根式的是①④，故答案选项C．【说明】最简二次根式、同类二次根式是本节内容两个重要概念，正确理解这两个概念，是进行二次根式加减运算的前提，因此在总复习时，应加强二次根式的化简的习题训练．例2把下列各式因式分解：（１）　　　　　（２）　　　　（３）【分析】（１）本题在进行因式分解时，不能直接提公因式或用公式法来分解，因此考虑用分组分解法．在分组时，尝试第一、第二两项分在一组

5、，第三、第四两项分在另一组后不能继续分解，因此把第一、第四两项结合，第二、第三两项结合，通过提公因式后来实现因式分解．（２）把化为，把化为，然后直接利用立方差公式来进行因式分解．（３）对于二次三项式的因式分解，常常考虑用十字相乘法来分解．【解】（１）原式＝．（２）原式＝(2x)3-=(2x-)(4x2++．（３）原式＝．【说明】华师版义务教育新课标实验教材中的因式分解要求偏低．事实上，让学生掌握十字相乘法分解因式，对于灵活解一元二次方程、解一元二次不等式等非常有用；另外，分组是数学中的一种重要的解题

6、思想方法，对于不能直接提公因式、利用公式来分解因式的多项式，可以尝试用分组分解法来进行因式分解．对于立方和（差）公式，在中考总复习时要补充，让学生会运用公式来因式分解.例3　化简：．【分析】在进行分式的加减乘除混合运算中，要注意运算顺序，先算乘除、再算加减，有括号先算括号里面的．对于分子、分母是多项式的分式，应先把分子、分母因式分解，然后再约分化简．【解】原式＝．【说明】分式的加减乘除混合计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是学生中考过关的重要题型之一，复习中要高度重视．例4　已

7、知，求代数式的值．【分析】由于、均为可化简的二次根式，应先将、进行化简。而多项式的次数较高，且可以因式分解，因此，容易想到转化的思想方法，把比较复杂的计算问题简单化．【解】∵，∴，∴．【说明】本题考查学生数学方法是：分母有理化、因式分解、配方法；运用数学思想是：转化思想、整体思想．教师在复习时要适量地进行有关数学思想和数学方法的渗透．例5　先化简，再求值：．【分析】化简本题时可先利用公式来化去根号，然后通过分子、分母因式分解约分化简．【解】∵∴∴原式＝．【说明】本题是分式和二次根式的综合计算问题，难

8、点是要判断a-1的正负性．另外，值得注意的是化简结果后求值的方法技巧，告诫学生不要用通分这种繁琐的方法去求值．例6　已知的值．【分析】有效利用配方法，由已知条件求出a+b，ab的值，然后通过通分把未知分式转化为a+b，ab的代数式，从而由整体代入法来求出结果．【解】∵∴∴，，∴．【说明】利用因式分解的公式法，把已知等式化为两个非负数的和，再求出隐含结论，的值是解决此题的突破口．利用通分和完全平方公式来把未知分式转化为已知，的式子，让学生体会整体思想方法和转化思想方法．