定积分在几何上的应用体积、弧长.ppt

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1、1.平行截面面积为已知的立体体积二、立体的体积2.旋转体的体积xA(x)xab1.平行截面面积为已知的立体体积x+dx解取坐标系如图，例1底圆方程为体积截面面积思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积是什么?如何用定积分表示体积?提示:解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积一平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周圆柱圆锥圆台2.旋转体的体积而成的立体称为旋转体．定直线称为旋转轴．xyo则旋转体的体积为注意：该积分公式的适用条件体积为解直线方程为例3x例4.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

2、利用直角坐标方程则(利用对称性)方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积解例5y处的截面面积注意：该积分公式的适用条件解例7.计算由摆线一拱与x轴所围的图形绕y轴旋转而成的立体体积.解(柱壳法)利用这个公式，可知上例6中解常见错误×截面是环面例8旋转轴不是坐标轴的情形:已知平行截面面面积已知的立体体积旋转体的体积绕x轴:绕y轴:(柱壳法)小结：三、平面曲线的弧长1.平面曲线的弧长的概念直角坐标情形极坐标情形参数方程情形2.平面曲线的弧长的计算公式⌒1.平面曲线的弧长的概念定理:任意光滑曲线弧都

3、是可求长的.弧长微元弧长2.平面曲线的弧长计算公式(1)曲线方程为直角坐标表示注：上限大于下限曲线弧为弧长2.曲线方程为参数表示曲线弧为弧长3.曲线方程为极坐标表示注意：解所求弧长为例2.解例3.计算摆线一拱的弧长.解:例4.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:例5.求连续曲线段解:的弧长.解平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分弧长的公式小结作业P258习题5-2计算体积：(A)8(1)(3)(5);(B)4;6.计算弧长：(A)10(1)(3)(5)；11.