积分在几何学上的应用面积体积弧长（附曲率）.ppt

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1、第二节积分在几何学上的应用第六章三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积二、体积曲边梯形的面积1.直角坐标系情形一、平面图形的面积推广：一般情形，解:两曲线的交点解：两曲线的交点选y为积分变量，注：此题如果以x为积分变量则计算较繁。注意选择合适的分割方式.解：由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．利用椭圆的参数方程应用换元积分法，原式2.极坐标系情形思路：用从极点出发的射线将曲边扇形分割成许多窄的曲边扇形，每个窄的曲边扇形用圆扇形面积近似。对应从0变到2的一段弧与极轴所围图形的面积.例4.计算阿基米德螺线

2、解:解:利用对称性知旋转体就是由一个平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1.旋转体的体积二、体积xyo思路：用垂直于x轴的平面将旋转体分割成许多小旋转体，每个小旋转体用小圆柱体体积近似。解：直线方程为解:利用对称性解:2.平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用积分计算.解：取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积三、平面曲线弧长直角坐标情形称为弧微分，解:所求弧长为如果曲线弧用参数方程表

3、示：如果曲线弧用极坐标方程表示：解:星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长解:要点:平面图形的面积注意选择合适的分割方式！1.直角坐标系情形2.极坐标系情形第二节积分在几何学上的应用平行截面面面积为已知的立体体积旋转体的体积xyo平面曲线的弧长2.参数方程方程:3.极坐标方程:1.直角坐标方程:称为弧微分.附：曲率曲率是描述曲线上单位弧段弯曲程度的量．))切线的转角越大，弧段弯曲程度越大转角相同，弧段越长平均弯曲程度越小1、曲率的定义)yxo（设曲线C是光滑的，（定义曲线C在点M处的曲率表示单位弧段上

4、切线转过的角度，反映曲线弧的平均弯曲程度。∴曲线的曲率反映曲线的切线倾角对弧长的变化率。例1直线例2圆所以直线的曲率处处为零。解:圆上各点处的曲率等于半径的倒数，且半径越大曲率越小.2、曲率的计算公式yxo例3解:显然,3、曲率圆与曲率半径所以可用曲率圆在点M附近的一段圆弧来近似代替曲线弧.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.即曲线及其曲率圆在点M处的一、二阶导数相同，为了避免磨削时有的地方磨不到的问题，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值。所以选

5、用砂轮的直径应不超过2.50单位长。而抛物线在其顶点处的曲率半径最小.解:要点:描述曲线上单位弧段弯曲程度的量．∴曲线的曲率反映曲线的切线倾角对弧长的变化率。曲率的计算:曲率:曲率的定义:曲率