一元二次方程与二次函数.doc

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1、一元二次方程与二次函数【例1】已知：关于的方程．⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数的图象关于轴对称．①求二次函数的解析式；②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；⑶在⑵条件下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．解：（1）分两种情况：当时，原方程化为，解得，∴当，原方程有实数根.当时，原方程为关于的一元二次方程，∵.∴原方程有两个实数根.综上所述，取任何实数时，方程总有实数根.（2）①∵关于的二次函数的图象关于轴对称，∴.∴.∴抛物线的解析

2、式为.②∵，∴（当且仅当时，等号成立）.（3）由②知，当时，.∴、的图象都经过.∵对于的同一个值，，∴的图象必经过.又∵经过，∴.设.∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，∴，∴.又根据、的图象可得，∴.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）∴.∴.而.只有，解得.∴抛物线的解析式为.【例2】关于的一元二次方程.（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.【解析】：（1）由题意得解

3、得解得当且时，方程有两个不相等的实数根.（2）由题意得解得（舍）（3）抛物线的对称轴是由题意得与抛物线有且只有一个交点另设过点的直线（）把代入，得，整理得由解得故综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，【例3】已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．【解析】(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以，抛物线对称轴，所以，．（

4、2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．因为，=16－8=80．所以，方程有两个不同的实数根，分别是，．（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为．若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可．由==<0，得又是正整数，所以得最小值为2．【例4】已知抛物线，其中是常数．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．（1）依题意，得，∴∴抛物线的顶点坐标为（2）∵抛物线与轴交于整数点，∴的根是整数．∴是整数．∵，∴是整数．∴是整数的完全平方数．∵，∴．∴取1，4，当时，；当时，．∴的值为2或

5、．∴抛物线的解析式为或．【例5】已知：关于的一元二次方程（为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过轴上的一个定点；（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线向右平移个单位长度，求平移后的解析式．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根,∴∵,∴的取值范围是且.（2）证明：令得.∴.∴∴抛物线与轴的交点坐标为,∴无论取何值，抛物线总过定点（3）∵是整数∴只需是整数.∵是整数，且,∴当时，抛物线为．把它的图象向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为【思考1】.已知关于的一元二次方程有实数根

6、，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.【思考2】已知：关于的一元二次方程（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求的值．【思考3】.已知：关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根满足，求的值．第三部分思

7、考题解析【思考1解析】解：（1）由题意得，．∴．∵为正整数，∴．（2）当时，方程有一个根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根．AOxy864224B综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．（3）设二次函数的图象与轴交于两点，则，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线经过点时，可得；当直线经过点时，可得．由图象可知，符合题意的的取值范围为．【思考2解析】证明：∴方程有两个不相等的实数根。（2）∵方程有两个整数根，必须使且m为整数．又∵12＜m＜40，