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《甘肃省武威六中高中数学论文《妙构函数巧用单调性解题举例》理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、妙构函数巧用单调性解题举例关键词：妙构函数，巧用单调性，证题，求最值，求范围有些数学习题，所给的并不是函数，如果按常规来做，有一定的难度，而且过程复杂，这时分析所给题的特点，若能换个角度, 构造一个函数，可能会起到事半功倍之功效，不仅能使学生感受到数学的美妙以及构造法的神奇，而且更能激发起学生探索的意识和创新欲望，突破思维的常规，使思路更简捷、明快。下面就妙构函数f(х)=ⅹ＋(a>0)的形式，巧用f(х)在(0,]上为减函数，在[,＋∞)为增函数这一单调性在证明、求最值、求范围等问题的应用，举例供大家参考。一、构造函数巧证题例1.已知a∈R＋，求证a＋＋≥证明：设ⅹ=a＋则构造函数
2、f(ⅹ)=ⅹ＋∵a∈R＋∴ⅹ=a＋≥4即ⅹ∈[4,＋∞)又∵f(ⅹ)在[1,＋∞)上为增函数。∴f(ⅹ)在[4,＋∞）上仍为增函数。∴当ⅹ=4时,f(х)有最小值即f(ⅹ)min=4＋=∴х∈[4,＋∞)时f(ⅹ)≥故a∈R＋时a＋＋≥例2.设a、b为正数，求证>①成立的充要条件是：对于任意实数ⅹ>1，恒有aⅹ＋>b;②分析：只要证不等式②对任意的ⅹ>1恒成立的充要条件是不等式①成立。4用心爱心专心证明：设f(ⅹ)=aⅹ+(ⅹ>1)，即构造了一个函数f(ⅹ)∵ⅹ>1∴х-1>0又a>0∴f(х)=aⅹ＋=aх＋1＋=a(ⅹ-1)＋＋a＋1≥2a＋1=(+1)2∴f(х)min=(+1
3、)2∵对任意х>1有aх+>b成立的充要条件是f(ⅹ)min>b∴(+1)2>b又∵b>0∴+1>故①成立的充要条件是②由以上两例可知，利用不等式不便解决或者无法解决的问题，一般回到函数方法来解决，效果比较好。二、构造函数巧求最值例3.已知х≥0，求＋＋3的最小值解：设＋3＝t,则构造函数f(t)=t+∵х≥0,∴t≥3即t∈[3,＋∞)∵f(t)在[1,＋∞)上仍为增函数∴f(t)在[3,＋∞)上为增函数∴当t=3时,f(t)min=故х=0时＋＋3的最小值是例4.在△ABC中，D是BC边上一点，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝BC＝a，求4用心爱心专心的最大值。解：设＝ⅹ，则构造函
4、数f(ⅹ)=ⅹ＋当D与C重合时，即AC与AD重合。∴a=b∴C=∴ 即ⅹ＝当D与B重合时，即AB与AD重合∴a=c∴b=∴即ⅹ＝由题意可知 ≤ⅹ≤ ∵f(ⅹ)＝ⅹ＋在（0,1］上为减函数，在［1，＋∞）为增函数∴当ⅹ∈［］时，f(ⅹ)为减函数只有ⅹ＝时，f(ⅹ)max=当ⅹ∈［1，］时，f(ⅹ)为增函数只有ⅹ＝时，f(ⅹ)max=∴的最大值为通过上两例，可以明显看出，如果直接应用均值不等式求最值时，则不满足条件。如若注意到所求的是ⅹ＋（a>0）的形式的最值，从而妙构函数f(ⅹ)＝ⅹ＋（a>0）进而联想函数y=x+的单调性,就可以是问题迎刃而解。三、构造函数巧求范围例5.已知f(
5、ⅹ)=loga(ⅹ+1),点P是函数y=f(ⅹ)图象上的任意点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(ⅹ)，当a>1且ⅹ∈[0,1）时总有2f(ⅹ)+g(ⅹ)≥m恒成立。4用心爱心专心解：由题意可知，函数y=f(ⅹ)的图象与函数y=g(ⅹ)的图象关于原点对称∵y=f(ⅹ)关于原点对称的函数为－y=f(－ⅹ)∴y=－f(－ⅹ)＝－loga(1－ⅹ)即g(ⅹ)＝－loga(1－ⅹ)由2f(ⅹ)+g(ⅹ)≥m得m≤loga对a>1且ⅹ∈[0,1)恒成立设F（ⅹ）＝loga则m≤F(ⅹ)min∵设t=1-ⅹ,则构造函数H(t)=t+-4∵ⅹ∈［0,1），即0≤ⅹ<1 ∴0<1－ⅹ≤1
6、 即t∈(0,1]又∵H（t）在（0,2］上为减函数，又t∈(0,1]∴当t=1时 H(t)min=1∵a>1 ∴F(ⅹ)min=0, 即m≤0故m的取值范围是m≤0此例的解法体现了等价转化的数学思想，两次转化最终化为函数f(ⅹ)＝ⅹ＋（a>0）的形式，再利用它的单调性就实现了化难为易从而解决问题的目的。综上所述，优美、自然的构造法常常是建立在学生已有的知识基础之上的，它生成于认知结构的最顶端，确实给学生的创新思维提供有益的培养和训练空间，也能引导学生在平凡、简洁的数学问题思考中，构筑完整的知识网络，发展学生的创新能力。4用心爱心专心
