巧用函数单调性来妙解其数学题

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1、巧用函数单调性妙解数学题函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。一.巧求代数式的值例1.已知，求的值。解：已知条件可化为设，则而在R上是增函数则有，即所以点评：本题关键是将条件转化为，再构造相应函数，利用单调性求解。拓展练习：已知方程的根为α，方程的根为β，求α+β的值。（答案：）二.妙解方程例2.解方程解：易见x=2是方程的一个解原方程可化为而（因为）在R上是减函数，同样在R上是减函数因此在R上是减函数由此知：当

2、时，当时，这说明与的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解。拓展训练：解方程。（答：）点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解，然后等价转化为的形式，最后根据的单调性得出原方程的解的结论。三.妙求函数的值域例3.求函数的值域。解：令，则因为，所以而在内递增所以又而所以为所求原函数的值域。四.巧解不等式例4.解不等式解：设原不等式可化为则，即设显然是R上的减函数，且，那么不等式即因此有，解得点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。拓展训练：解不等式。（答：）五.巧

3、证不等式例5.设，求证。证明：当m，n中至少有一个为0时，则有，结论成立。设因为在上单调递增所以与必同号，或同为0（当且仅当时）从而因此，原不等式成立（当且仅当或，或时取“=”号）。点评：原不等式等价于，这可由幂函数在上递增而得到。本题可拓展：令，则。六.巧解恒成立问题例6.已知函数对区间上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。解：依题意，对上任意x的值恒成立整理为对上任意x的值恒成立。设，只需而在上是增函数则所以七.巧建不等关系例7.给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点，设。若，求l在y轴上的截距的变化范围。解：设由，得联立（1）（2）

4、（3）（4），解得所以或所以的方程为或当时，在y轴的截距为令，则所以在［4，9］上是减函数故所以直线在y轴上截距的取值范围是：八.巧解数列问题例8.已知数列是等差数列，。（1）求数列的通项公式；（2）设数列的通项，Sn是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。解：（1）由，有得因此（2）设（n为正整数）所以即在上是递增的从而即所以当时，当时，