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1、第一章复变函数与解析函数§1.1复数§1.2平面点集§1.3连续函数§1.4解析函数§1.5函数可导的充要条件§1.6初等解析函数复变函数与积分变换及应用背景M.Kline{MorrisKline(1908-1992),纽约大学Courant数学研究所的教授.他的著作包括《数学:确定性的丧失》等.}(《古今数学思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美国数学史家)指出:从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展统治了
2、十八世纪那样.这一丰饶的数学分支,一直被称为这个世纪的数学享受.它也被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一.(1)代数方程在实数范围内无解.为了建立代数方程的普遍理论，人们引入复数的概念,从而建立了复变函数理论.Gauss{(CarlFriedrichGauss(1777.4.30-1855.2.23))伟大的德国数学家、天文学家和物理学家.幼时家境贫困,但聪敏异常,曾被誉为数学神童.1795～1798年在哥廷根大学学习,1796年发现正十七边形的尺规作图法,解决了Euclid以来悬而未决的问题.1799年证明了代数基本定理获得博士学位.Guass是
3、近代数学奠基者之一,有“数学王子”之称.从1807年起担任哥廷根大学教授兼哥廷根天文台台长,直至逝世.Guass的数学研究几乎遍及所有领域,在很多方面都做出了开创性的贡献.他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法.Guass曾说:“数学是科学之王.”}应用复变函数理论证明了代数基本定理.{复系数n次代数方程在复数域必有n个根.}(2)复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函数的积分.J.Hadamard{(1865.12.8-1963.10.17)法国数学家.他在1896年应用复变函数理论证明了当x=1时,Riemann函
4、数从而证明了素数定理.他曾于1936年来华在清华大学讲学.Riemann函数}说:实域中两个真理之间的最短路程是通过复域.(3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动等问题的研究.(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等.最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,从而研究机翼的造型问题.(5)应用于计算渗流问题.例如:大坝、钻井的浸润曲线.(6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度.例如:热炉中温度的计算.(8)复变函数理论也是积分变换的重要基础.积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理和其他许多数学、物理和
5、工程技术领域.(9)Fourier{JosephFourier(1768.3.21-1830.5.16)法国数学家和物理学家.他致力于研究固体的热传导问题,1822年出版名著《热的分析理论》,形成了一种在数学物理问题中有普遍意义的方法,它开辟了Fourier分析这样一个近代数学的重要分支.Fourier分析在物理、数学和工程技术上都有广泛的应用.对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.}变换应用于频谱分析和信号处理等.频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析.随着计算机的发展，语音、图象等作为信号，在频域中的处理要方便得多.(10)
6、Laplace{PierreSimondeLaplace(1749.3.23-1827.3.5)法国数学家和天文学家.曾经短期担任过Napoleon的内政部长.凡是有助于解释世界的任何事情,他都感兴趣.最著名的著作有《天体力学》(1799-1825,5卷本)和《概率的分析理论》(1812).提出了太阳系生成的星云假说.以他的名字命名的Laplace变换和Laplace方程有广泛的应用.我们知道的,是很微小的;我们不知道的,是无限的.}变换应用于控制问题.在控制问题中,传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比.(11)Z
7、变换应用于离散控制系统.(12)小波分析的应用领域十分广泛,如信号分析和图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、地质勘探与地震预报等等.(13)复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程计算设计的软件MATLAB{MATLAB是一个为科学和工程计算而专门设计的高级交互式软件包,是一种高性能的编程软件,具有通用科技计算、图形交互系统和程序设计语言,并且语法规则简单,容易掌握和调试方便.在Windows系统中,点击MATLAB图标启动程序,进入MATLAB界面.}主要内容本章首先引入复数的概念及其运算、平面点集的概念.然后讨论复变函数的连续性，重
8、点研究解析函数.最后介绍几个基本的初等解析函数.§1.1复数1复数的概念2复数的四则运算3复数的表示方法4乘幂与方根1.1.1复数的概念
