复变函数教案第

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1、章节名称：第四章学时安排：6学时教学要求：使学生掌握复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和幂级数的收敛和发散的判定方法。教学内容：复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和幂级数的收敛和发散的判定教学重点：幂级数的研究教学难点：幂级数收敛圆教学手段：课堂讲授教学过程：第四章级数§1、复数项级数1，复数列的极限：1）定义：设为一复数列，其中，又设为一确定的复数。如果任意给定，相应地能找到一个正数，使在时成立，那么称为复数列在时的极限。记作。也称复数列收敛于。2）定理1：复数列收敛于的充要条件是，2，级数的概念：1）设为一复数列，表达式

2、称为无穷级数，其最前面项的和称为级数的部分和。2）如果部分和数列收敛，那么级数称为收敛。并且极限称为级数的和；如果数列不收敛，那么级数称为发散。3）定理2：级数收敛的充要条件是级数和级数都收敛。注意：定理2将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题，而由实数项级数和收敛的必要条件，可得，从而推出复数项级数收敛的必要条件是4）定理3：如果收敛，那么也收敛，且不等式成立。注意：a）如果收敛，那么称为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数为条件收敛。b）绝对收敛的充要条件是级数和级数都绝对收敛5）正项级数的判别法举例（因为的各项都是非负的实数，所以它的收敛性可

3、用正项级数判别法）：例1，下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限。1）；2）例2，下列级数是否收敛？是否绝对收敛？1）；2）；3）（练习）§2、幂级数1，幂级数概念：1）复变函数项级数：设为一复变函数序列，其中各项在区域D内有定义，表达式称为复变函数项级数，其最前面项的和称为级数的部分和。2）如果对于D内的某一点，极限存在，那么我们称复变函数项级数在收敛。而称为它的和；如果级数在D内处处收敛，那么它的和一定是的一个函数：称为级数的和函数。3）幂级数：当或者时，就得到函数项级数的特殊情形：或这种级数称为幂级数。4）阿贝尔定理（收敛定理）：如果级数在收敛，

4、那么对满足的，级数级数必绝对收敛；如果在发散，那么对满足的，级数必发散。2，收敛圆与收敛半径利用阿贝尔定理，可以得到一个幂级数的收敛情况：1）如果一个幂级数对所有的正实数是收敛的，则级数在复平面内处处绝对收敛；2）如果一个幂级数对所有的正实数除外都是发散的，则级数在复平面内除原点外处处发散；3）既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数发散的正实数，设（正实数）时，级数收敛；（正实数）时，级数发散，那么在以原点为中心，为半径的圆周内，级数绝对收敛；在以原点为中心，为半径的圆周外，级数发散；4）收敛圆与收敛半径例，求幂级数的收敛范围与和函数3，收敛半径的求法

5、1）定理2（比值法）如果，那么级数的收敛半径为。2）定理3（根值法）如果，那么级数的收敛半径为。3）应用举例例，求下列幂级数的收敛半径：（并讨论在收敛圆上的情形）；（并讨论在时的情形）；练习：求下列幂级数的收敛半径：.4，幂级数的运算和性质1）展开成幂级数：例，把函数表成形如的幂级数，其中是不相等的复常数。2）复变幂级数的性质：复变幂级数也象实变幂级数一样，在其收敛圆内具有下列性质：定理4：设幂级数的收敛半径为，那么1）它的和函数，即=是收敛圆：内的解析函数；2）在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到，即=3）在收敛圆内可以逐项积分，即=，或=§3、

6、泰勒级数1，泰勒展开定理：设在区域D内解析，为D内一点，为到D的边界上各点的最短距离，那么当时，=成立，其中注意：1）泰勒展开式=的右边即得泰勒级数；2）泰勒级数收敛半径为到的最近奇点的距离。3）任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，而且是唯一的。2，应用举例：例1，把展开成的幂级数。例2，把函数展开成的幂级数。例3，求对数函数的主值在处的泰勒展开式。练习题：P.143，12题（1，3，4，5，6）§4、洛朗级数1，一类特殊级数：++其中都是常数。1）正幂项部分是一个通常的幂级数，它的收敛范围是一个圆域，设它的收敛半径为，那么当时，级数收敛；当时

7、，级数发散。2）负幂项部分对，令，则，设它的收敛半径为，那么当时，级数收敛；当时，级数发散。令，则当时，级数收敛；当时，级数发散。3）级数++当正幂项部分和负幂项部分同时收敛时为收敛；否则为发散。显然，当时，为正幂项部分和负幂项部分的公共收敛区域，此时，圆环域为上述级数的收敛域；当时，没有公共收敛区域，级数发散。4）幂级数在收敛圆内所具有的许多性质，级数++在收敛圆环域内也具有。例如，级数在收敛圆环域内其和函数是解析的，而且可以逐项求导和逐项求积分。2，定理：设在圆环域内处处解析，那么=成立，其中注意：1）洛朗展开式=的右边即洛朗级数；2）任何解析函数

8、在收敛圆环域内展开成级数的结果就是洛朗级数，而且是唯一的。3，应用举例：例1，函数在圆环域：1