复变函数教案12

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1、第一章复数与复变函数教学课题：第二节复平面上的点集教学目的：1、理解关于平而点集的儿个基本概念；2、理解区域勾约当曲线这W个重要概念；3、了解约当定理和区域的连通性。教学重点：平血点集的几个基木概念教学难点：区域与约当曲线教学方法：启发忒教学教学手段：多媒体与板15相结合教材分析：理解关于〒面点集的儿个基本概念、掌握区域与约当llh线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。教学过程：1、平面点集的几个基本概念：定义1.1设6/eC,rg(0,+oo),tz的r-邻域［/(fz，r)定义

2、为{z\z-a

3、点都展于£;则任何集合£的闭包互一定是闭集；定义1.4如果3r〉0，使得£c=t/（O，r），则称£是有界集，否则称£是无界集；复平面上的宥界闭集称为紧集。例1、岡盘［/（^，r）是有界开集；闭闢盘fGz，r）是宥界闭集；例2、集合｛z

4、

5、z-

6、=d是以6/为心，半径为r的圆周，它是圆盘［/（6/，r）和闭圆盘j7（“，r）的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界幵集。例4、集合£=｛z

7、O<

8、z-a

9、0,集合Mz

10、

11、〉r，zeCJ称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。C；我们也称为C的一点紧化。2、区域、约当（Jordan）曲线：定义1.5复平面C上的集合£>，如果满足：（1）、是幵集；（2）、Z）中任意两点可以用宥限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于£>。则称Z）是一个区域。结合前面的定义，有有界区域、无界区域。性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的丌集。区域Z）内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。扩充复平面C、上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上

12、的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。设已给z=z(t(a

13、Ze［^］｝为一条连续曲线。如果对［^刎上任意不同两点［及~,但不同时是k，/?］的端点，我们有2(^)^2(^2),那么上述集合称为一条简单连续曲线，或约当曲线。若还有z(a)=z(b),则称为一条简单连续闭曲线，或约当闭曲线。约当定理：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。光滑曲线:如果Rez(z)和Imz(z)都在闭区间［6

14、/，/?］上连续，且有连续的导函数，在［a，办］上，z’(r)矣0则称集合｛z(r)

15、fe［a，Z?］｝为一条光滑曲线;类似地，可以定义分段光滑曲线。设£>是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线的内区域屮每一点都属于则称D是单连通区域，否则称D是多连通区域。C、中区域的连通性：如果D内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于则称£>是单连通区域，否则称£>是多连通区域。例1、集合｛z

16、(l-z*)z+(l+Of〉O｝为半平面，它是一个争连通无界区域，其边界为直线(l-/)z+(l+z)z=O艮Px+y=0o例2、集

17、合｛到2

18、2<

19、z-/

20、<3｝为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为岡

21、z-/

22、=2及

23、z-/

24、=3。例5、在上，集合｛2丨2<

25、到<+00｝与｛2

26、2<

27、2

28、<+0)｝分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为｛

29、z2｝及｛

30、z

31、=2｝｛co｝。定义1.6设连续弧AB的参数方程为z=

32、z⑴，(a