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时间:2018-12-07
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1、第一章复数与复变函数教学课题:第二节复平面上的点集教学目的:1、理解关于平而点集的儿个基本概念;2、理解区域勾约当曲线这W个重要概念;3、了解约当定理和区域的连通性。教学重点:平血点集的几个基木概念教学难点:区域与约当曲线教学方法:启发忒教学教学手段:多媒体与板15相结合教材分析:理解关于〒面点集的儿个基本概念、掌握区域与约当llh线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通,对于学好该门课程具有重要的作用。教学过程:1、平面点集的几个基本概念:定义1.1设6/eC,rg(0,+oo),tz的r-邻域[/(fz,r)定义
2、为{z\z-a3、点都展于£;则任何集合£的闭包互一定是闭集;定义1.4如果3r〉0,使得£c=t/(O,r),则称£是有界集,否则称£是无界集;复平面上的宥界闭集称为紧集。例1、岡盘[/(^,r)是有界开集;闭闢盘fGz,r)是宥界闭集;例2、集合{z4、5、z-6、=d是以6/为心,半径为r的圆周,它是圆盘[/(6/,r)和闭圆盘j7(“,r)的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集,复平面是无界幵集。例4、集合£={z7、O<8、z-a9、0,集合Mz10、11、〉r,zeCJ称为无穷远点的一个邻域。类似地有,聚点、内点、边界点与孤立点,开集、闭集等概念。C;我们也称为C的一点紧化。2、区域、约当(Jordan)曲线:定义1.5复平面C上的集合£>,如果满足:(1)、是幵集;(2)、Z)中任意两点可以用宥限条相衔接的线段所构成的折线连起来,而使这条折线上的点完全属于£>。则称Z)是一个区域。结合前面的定义,有有界区域、无界区域。性质(2)我们称为连通性,即区域是连通的丌集。区域Z)内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。扩充复平面C、上不含无穷远点的区域的定义同上;含无穷远点的区域是C上12、的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。设已给z=z(t(a13、Ze[^]}为一条连续曲线。如果对[^刎上任意不同两点[及~,但不同时是k,/?]的端点,我们有2(^)^2(^2),那么上述集合称为一条简单连续曲线,或约当曲线。若还有z(a)=z(b),则称为一条简单连续闭曲线,或约当闭曲线。约当定理:任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域:一个有界的称为内区域,一个无界的称为外区域。光滑曲线:如果Rez(z)和Imz(z)都在闭区间[614、/,/?]上连续,且有连续的导函数,在[a,办]上,z’(r)矣0则称集合{z(r)15、fe[a,Z?]}为一条光滑曲线;类似地,可以定义分段光滑曲线。设£>是一个区域,在复平面C上,如果D内任何简单闭曲线的内区域屮每一点都属于则称D是单连通区域,否则称D是多连通区域。C、中区域的连通性:如果D内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于则称£>是单连通区域,否则称£>是多连通区域。例1、集合{z16、(l-z*)z+(l+Of〉O}为半平面,它是一个争连通无界区域,其边界为直线(l-/)z+(l+z)z=O艮Px+y=0o例2、集17、合{到218、2<19、z-/20、<3}为一个圆环,它是一个多连通有界区域,其边界为岡21、z-/22、=2及23、z-/24、=3。例5、在上,集合{2丨2<25、到<+00}与{226、2<27、228、<+0)}分别为单连通及多连通的无界区域,其边界分别为{29、z2}及{30、z31、=2}{co}。定义1.6设连续弧AB的参数方程为z=32、z⑴,(a
3、点都展于£;则任何集合£的闭包互一定是闭集;定义1.4如果3r〉0,使得£c=t/(O,r),则称£是有界集,否则称£是无界集;复平面上的宥界闭集称为紧集。例1、岡盘[/(^,r)是有界开集;闭闢盘fGz,r)是宥界闭集;例2、集合{z
4、
5、z-6、=d是以6/为心,半径为r的圆周,它是圆盘[/(6/,r)和闭圆盘j7(“,r)的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集,复平面是无界幵集。例4、集合£={z7、O<8、z-a9、0,集合Mz10、11、〉r,zeCJ称为无穷远点的一个邻域。类似地有,聚点、内点、边界点与孤立点,开集、闭集等概念。C;我们也称为C的一点紧化。2、区域、约当(Jordan)曲线:定义1.5复平面C上的集合£>,如果满足:(1)、是幵集;(2)、Z)中任意两点可以用宥限条相衔接的线段所构成的折线连起来,而使这条折线上的点完全属于£>。则称Z)是一个区域。结合前面的定义,有有界区域、无界区域。性质(2)我们称为连通性,即区域是连通的丌集。区域Z)内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。扩充复平面C、上不含无穷远点的区域的定义同上;含无穷远点的区域是C上12、的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。设已给z=z(t(a13、Ze[^]}为一条连续曲线。如果对[^刎上任意不同两点[及~,但不同时是k,/?]的端点,我们有2(^)^2(^2),那么上述集合称为一条简单连续曲线,或约当曲线。若还有z(a)=z(b),则称为一条简单连续闭曲线,或约当闭曲线。约当定理:任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域:一个有界的称为内区域,一个无界的称为外区域。光滑曲线:如果Rez(z)和Imz(z)都在闭区间[614、/,/?]上连续,且有连续的导函数,在[a,办]上,z’(r)矣0则称集合{z(r)15、fe[a,Z?]}为一条光滑曲线;类似地,可以定义分段光滑曲线。设£>是一个区域,在复平面C上,如果D内任何简单闭曲线的内区域屮每一点都属于则称D是单连通区域,否则称D是多连通区域。C、中区域的连通性:如果D内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于则称£>是单连通区域,否则称£>是多连通区域。例1、集合{z16、(l-z*)z+(l+Of〉O}为半平面,它是一个争连通无界区域,其边界为直线(l-/)z+(l+z)z=O艮Px+y=0o例2、集17、合{到218、2<19、z-/20、<3}为一个圆环,它是一个多连通有界区域,其边界为岡21、z-/22、=2及23、z-/24、=3。例5、在上,集合{2丨2<25、到<+00}与{226、2<27、228、<+0)}分别为单连通及多连通的无界区域,其边界分别为{29、z2}及{30、z31、=2}{co}。定义1.6设连续弧AB的参数方程为z=32、z⑴,(a
6、=d是以6/为心,半径为r的圆周,它是圆盘[/(6/,r)和闭圆盘j7(“,r)的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集,复平面是无界幵集。例4、集合£={z
7、O<
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9、0,集合Mz
10、
11、〉r,zeCJ称为无穷远点的一个邻域。类似地有,聚点、内点、边界点与孤立点,开集、闭集等概念。C;我们也称为C的一点紧化。2、区域、约当(Jordan)曲线:定义1.5复平面C上的集合£>,如果满足:(1)、是幵集;(2)、Z)中任意两点可以用宥限条相衔接的线段所构成的折线连起来,而使这条折线上的点完全属于£>。则称Z)是一个区域。结合前面的定义,有有界区域、无界区域。性质(2)我们称为连通性,即区域是连通的丌集。区域Z)内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。扩充复平面C、上不含无穷远点的区域的定义同上;含无穷远点的区域是C上
12、的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。设已给z=z(t(a13、Ze[^]}为一条连续曲线。如果对[^刎上任意不同两点[及~,但不同时是k,/?]的端点,我们有2(^)^2(^2),那么上述集合称为一条简单连续曲线,或约当曲线。若还有z(a)=z(b),则称为一条简单连续闭曲线,或约当闭曲线。约当定理:任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域:一个有界的称为内区域,一个无界的称为外区域。光滑曲线:如果Rez(z)和Imz(z)都在闭区间[614、/,/?]上连续,且有连续的导函数,在[a,办]上,z’(r)矣0则称集合{z(r)15、fe[a,Z?]}为一条光滑曲线;类似地,可以定义分段光滑曲线。设£>是一个区域,在复平面C上,如果D内任何简单闭曲线的内区域屮每一点都属于则称D是单连通区域,否则称D是多连通区域。C、中区域的连通性:如果D内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于则称£>是单连通区域,否则称£>是多连通区域。例1、集合{z16、(l-z*)z+(l+Of〉O}为半平面,它是一个争连通无界区域,其边界为直线(l-/)z+(l+z)z=O艮Px+y=0o例2、集17、合{到218、2<19、z-/20、<3}为一个圆环,它是一个多连通有界区域,其边界为岡21、z-/22、=2及23、z-/24、=3。例5、在上,集合{2丨2<25、到<+00}与{226、2<27、228、<+0)}分别为单连通及多连通的无界区域,其边界分别为{29、z2}及{30、z31、=2}{co}。定义1.6设连续弧AB的参数方程为z=32、z⑴,(a
13、Ze[^]}为一条连续曲线。如果对[^刎上任意不同两点[及~,但不同时是k,/?]的端点,我们有2(^)^2(^2),那么上述集合称为一条简单连续曲线,或约当曲线。若还有z(a)=z(b),则称为一条简单连续闭曲线,或约当闭曲线。约当定理:任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域:一个有界的称为内区域,一个无界的称为外区域。光滑曲线:如果Rez(z)和Imz(z)都在闭区间[6
14、/,/?]上连续,且有连续的导函数,在[a,办]上,z’(r)矣0则称集合{z(r)
15、fe[a,Z?]}为一条光滑曲线;类似地,可以定义分段光滑曲线。设£>是一个区域,在复平面C上,如果D内任何简单闭曲线的内区域屮每一点都属于则称D是单连通区域,否则称D是多连通区域。C、中区域的连通性:如果D内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于则称£>是单连通区域,否则称£>是多连通区域。例1、集合{z
16、(l-z*)z+(l+Of〉O}为半平面,它是一个争连通无界区域,其边界为直线(l-/)z+(l+z)z=O艮Px+y=0o例2、集
17、合{到2
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20、<3}为一个圆环,它是一个多连通有界区域,其边界为岡
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24、=3。例5、在上,集合{2丨2<
25、到<+00}与{2
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28、<+0)}分别为单连通及多连通的无界区域,其边界分别为{
29、z2}及{
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31、=2}{co}。定义1.6设连续弧AB的参数方程为z=
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