导函数列一致收敛的性质.doc

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1、关于导函数列一致收敛的性质的一些命题.函数列可逐项求导的充分条件定理10.10如果函数列满足条件:(1)每一个在区间上有连续的导函数;(2)由导函数构成的函数列在上一致收敛于函数;(3)至少在某一点,收敛。那么，在上一致收敛于某个函数，在区间上有连续的导函数，而且对每个，有，即。定理设函数列的每一项都在区间上连续可导，如果对任何，，函数列在上一致收敛于函数,函数列在上一致收敛于函数,那么在区间上有连续的导函数，而且对每个，有，即。定理1.设.若收敛,收敛,且在上一致收敛,则在上一致收敛;在上一致收敛.，。定理2设且收敛,如果在上一致收

2、敛,则与均在上一致收敛.证明由，得,由条件,可知收敛,利用定理1,即得到结论.定理3设若在上一致收敛,在上一致收敛,则在上一致收敛.，是Banach空间。定理4设则有证明存在,使得,由,得从而有.定理5设则对任意,成立；存在常数，使得。证明任取.对任意存在子区间或,使得由,得,从而有故成立.取代入上式，则有。定理6设则存在常数，使得，。定理7设，.则存在常数，使得，为正整数，，。定理8设若在上一致收敛,在上一致收敛,则在上一致收敛.，。定理10.21(魏尔斯特拉斯)闭区间上的任何连续函数能在这个区间上用多项式一致逼近,即设,则对任意,

3、总能找到多项式,使得对中的所有的,均有。定理设，则存在多项式序列，使得在上一致收敛于。定理设，且，则存在多项式序列，使得在上一致收敛于，在上一致收敛于。证明由于，根据魏尔斯特拉斯逼近定理，存在多项式序列，使得在上一致收敛于，令，显然仍是多项式，；从而得在上一致收敛于，在上一致收敛于。定理设，则存在多项式序列，使得在中收敛于。