收敛数列的性质(II)

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1、§２收敛数列的性质教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。1.唯一性定理每个收敛的数列只有一个极限.若数列收敛，则它只有一个极限。一、数列极限的性质证故极限唯一.由定义,2.有界性定理2.3收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.3.保号性定理2.4若（或），

2、则对任何（或），存在正数Ｎ，使时有（或）。得当4.保不等性定理2.5设数列与均收敛，若存在正数使得当时有，则。，思考：如果把条件“”换成“把结论换成”，那么能否？证5.夹逼准则本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。设收敛数列、都以a为极限，数列满足：存在正数，当时有则数列收敛，且.定理2.6上两式同时成立,证注意:例2求数列的极限。上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限例3解：记，这里，则有：左右两边的极限均为1，故由夹逼准则本例得证。解由夹逼定理得6、极限运算法则

3、例：求解：由于所以例：求解：例4求解:解：若则若，则由有若，则例5求解：由于故从而二数列的子列子列的定义定义１设为正整数集的无限称为数列的一个子列，简记为.子集，且注1的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次序,为数列，则数列注2子列中的表示是中的第项，表示是中的第k项注3数列本身以及去掉有限项以后得到的子列，称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为平凡子列。的非数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，时有相同的极限。且在收敛定理2.8数列收敛的任何非平凡子列都收敛。2子列与其本敛散性关系若数列

4、有一个子列发散，或有两个子列收敛而注极限不相等，则数列一定发散。如收敛于是1,收敛于是-1。故发散例：证明证明：由于故的两个子列收敛于0，发散。发散。收敛于1。即数列作业P511(4),2