收敛数列的性质(VII)

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1、§2.2收敛数列的性质1、唯一性2、有界性3、保号性4、保不等式性5、四则运算6、迫敛性7、子数列的收敛性定理2.2（唯一性）定理2.2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.定理2.3（有界性）例如,有界无界收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例1证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.定理2.5（保不等式性）定理给定两个序列}{nx，}{ny，若n"，nnyx£且axnn=¥®lim，bynn=¥®lim，则ba£.从

2、而定理2.5（保不等式性）设lim,lim,nnnnaabb®¥®¥==若ab>，则存在N使得当Nn>时有nnba>.定理2.6(收敛数列的保号性)如果数列{xn}收敛于a,且a0(或a0)那么存在正整数N当nN时有xn0(或xn0)4保号性推论如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0)且数列{xn}收敛于a那么a0(或a0)这说明若数列收敛且极限不为零，则当n充分大时，与0的距离不能任意小.这一事实在后面讨论极限的四则运算时会用到.证定理2.6迫敛性上两式同时成立,上述

3、数列极限存在的准则可以推广到函数的极限例1解由夹逼定理得7数列极限的四则运算法则定理2.8设有数列{xn}和{yn}如果那么例4求例4求解：分a=1，

4、a

5、<1，

6、a

7、>1三种情况解：（分子有理化）例3求定理2.8子数列的收敛性注意：例如，收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证证毕．例4对于数列xn证此时有此时有总之：恒有Th(数列收敛充要条件){}收敛{Th(数列收敛充要条件){}收敛子列{}和{收敛于同一极限.}的任何子列收敛于同一极限.}Th(数列收敛充要条件){}收敛子列{}、{}都收敛.和

8、{思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为小结(1),唯一性;(2),有界性;(3),保号性;(4),四则运算法则;(5),不等式性;(6),收敛数列与其子列的关系.葛巍巍ThankYou!