收敛数列的性质(1)

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1、§2收敛数列的性质1.极限唯一性：若数列收敛，则它只有一个极限。证（反证法）若数列有两个极限收敛，，不妨设由，（极限的几何定义）外至多有数列的有限项内最多只有数列的有限项，与矛盾。2收敛数列有界性——收敛的必要条件若数列收敛，则数列有界，即存在，对都有证明由，存在时，记，则对任意都有：3收敛数列保号性：7若，则对，时有；若，则对，时有；推论若则对证明时，，即例1设证明：若则（证）定理2.5设，若则2迫敛性设，数列满足：存在时，，则数列收敛，且证明时，时，取时7所以例2求解法1），所以可将的形式，用牛顿二项式定理由迫敛性解法2）2绝对值收敛性:(注意反之不确).(证)推论

2、设数列{}和{}收敛,则3四则运算性质:7设，则数列也收敛，且，。若，则数列也收敛，且证明（加法运算）时，时，时乘法运算利用收敛数列的有界性时代入上式，得时商性质7，若利用乘法性质即可得到商性质。证明由保号性，存在时，代入上式，得再由时，例3求利用收敛收敛数列的四则运算性质时时7总之等于分子分母最高项系数的比。例4求解，由四则运算性质＝例5求7.子列收敛性:子列概念.Th(数列收敛充要条件){}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.Th(数列收敛充要条件){}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.Th(数列收敛充要条件){}收敛子列{}、{}和{都收敛于同一极限.利用数列极限性

3、质求极限:两个基本极限：1．利用四则运算性质求极限：7例1註：关于的有理分式当时的极限情况例2填空:⑴⑵例3例42.利用迫敛性的基本技法:大小项双逼法例5求下列极限:⑴⑵⑶例6(例7求证例8设存在.若则一.利用子列性质证明数列发散:7例9证明数列发散.偶数列，奇数列发散。7