常微分方程试卷 答案.doc

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1、数学与应用数学专业《常微分方程》试卷B题号一二三四五六七八总分题分2410101010121212100得分系名称班级学号姓名一、选择题（3分8=24分）1、（A）是一阶线性微分方程。A．B．C．D．2、（B）不是变量可分离微分方程。A．B．C．D．3、下列等式中为微分方程的是（D）A．B．C.D.4、向量组在区间I上线性相关是它们对应的朗斯基行列式在I上为零的（C）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5、若方程存在满足的非零解，则为（B）A．B．C．D．6、方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是（B）A．

2、B．C．D．7、微分方程的通解为（B）A．B．C．D．8、方程的通过点（0，0）的解的最大存在区间是（A）A．（-∞，+∞）B．（-2，+∞）C．（-∞，2）D．（-2，2）二、求解方程。（10分）解：所给微分方程可写成即有上式两边同除以，得由此可得方程的通解为即三、求微分方程的通解（10分）解：对应齐次方程的特征方程为特征根，对应齐次方程通解由于是特征方程的根，故方程有形如的特解将它代入原方程2从而A=故通解y=四、解微分方程（10分）解：，特征根，齐次方程通解由于是单征根，故非齐次方程有形如的通解将它代入已知方程，并比较x的同次幂系数得故故通解为五、解微分方程（10分）解：令

3、y=xu代入方程中，得即当，分离变量和积分得即当，为方程解故方程为sinu=cx将y=xu回代上解的sin六、求解微分方程的通解（12分）解：齐次方程是得得出故由于i是特征方程的单根，故所求特解应具有形式现将上式代入原方程可求出因而，所求通解为七、求解方程组：（12分）解：系数矩阵为A=特征方程为特征根为①当时对应解为②当时对应两个线性无关解形如并且、满足由于那么解得两个线性无关向量、代入到中，得为零向量于是的线性无关解最后得到通解八、试讨论为何值时方程存在满足y的非零解。（12分）解：当时方程通解是要使y，必须==0,于是=0当时方程的通解是y=要使y必须+=0即=因此，要使即

4、0=将=代入到上式有必须有=0从而=0。于是当时方程通解是要使y必须有=0于是y=要使y只要sin即可。即=从而方程有非零解