资源描述:
《常微分方程试卷及答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2010-2011学年第二学期常微分方程考试AB卷答案理学院年级信息与计算科学专业填空题(每题4分,共20分)1.形如(连续)的方程是一阶线性微分方程,它的通解为.2.形如的方程是3阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为.3.形如的方程为欧拉方程,可通过变换把它转化成常系数方程.4.满足初始条件:=0,=1的特解5.5.微分方程的解存在且唯一的条件是:在R上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解(每题5分,共30分)1.=解:令x+y=u,则=-1……………
2、………….3-1=u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.……………………….52.解:两边同乘以得:……………………….310故方程的通解为:……………………….53.解:令,则,两边对x求导,得,……………………….3解之得,所以,……………………….4且y=x+1也是方程的解,但不是奇解.……………………….54.解:特征方程有三重根,,……………………….3故通解为……………………….55.解:特征方程有根0,齐线性方程的通解为x=……………………….3又因为0是特征根,故可以取特解
3、行如代入原方程解得A=,B=……………………….4故通解为x=……………………….5106.解:原方程可化为………………………1分离变量可得…………………………………………………..3两边积分可得…………………………………………………..4将初值代入上式求得方程的解:……………………….5一、求下列方程(组)的通解(每题10分,共30分)1.求一曲线,使其任一点的切线在轴上的截距等于该切线的斜率.解:设为所求曲线上的任一点,则在点的切线在轴上的截距为:……………………….3由题意得即也即两边同除以,得……
4、…………….5即……………………….7即……………………….10为方程的解。2.满足初值条件解:方程组的特征值,……………………….210对应特征值的特征向量应满足对任意常数,,取,得……………………….4对应特征值的特征向量应满足对任意常数,,取,得……………………….6所以基解矩阵为:……………………….8=………….103.求方程通过点的第二次近似解.解:令,于是…………………….5…………….10五、应用题(10分)1033.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机,过了20秒钟后,艇
5、的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解:,又,由此即………………….5其中,解之得又时,;时,。故得,从而方程可化为………………….7当时,有米/秒……………….8即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。………………….10六、证明题(10分)1、试证:非齐次线性微分方程组的叠加原理:即:设分别是方程组的解,则是方程组的解.证明:(1)10(2)分别将代入(1)和(2)则………………….5则令即证………………….102010-2011学年第二学期常微分方
6、程考试B卷答案理学院年级信息与计算科学专业一、填空题(每题4分,共20分)1.是恰当方程的充要条件是;其通解可用曲线积分表示为.2.方程叫克莱罗方程,其通解是,其奇解是.3.形如的方程是2阶非齐次(“齐次”还是”非齐次”)_常系数的微分方程,它的特征方程的特征根为.4.若是同一线性方程的基解方阵,则它们间有关系.5.5.微分方程10的解存在且唯一的条件是:在R上连续且满足利普希茨条件二、下列微分方程的解(每题5分,共30分)1.解:令…………….1则:即得到故即…………………….4另外也是方程的解。.……
7、……………….52.=解:y=()…………………….3=[-e()+c]=ce-()是原方程的解。…………………….53.。设…………………….3…………………….410,解为…………………….54.解:特征方程有复数根,……….3故通解为…………………….55.解:原方程可化为故…………………….56.解:特征方程有根-2,-4…………………….1故齐线性方程的通解为x=…………………….3-2是特征方程的根,故代入原方程解得A=……………….4故通解为x=……………….5三、求下列方程(组)的通解(每
8、题10分,共30分)1.解:特征方程有2重根-a………………..2当a=-1时,齐线性方程的通解为s=,1是特征方程的2重根,故代入原方程解得A=通解为s=,……………………………………..6当a-1时,齐线性方程的通解为s=,101不是特征方程的根,故代入原方程解得A=故通解为s=+…………………………..102.求其基解矩阵.解:det(E-A)=0得=,=-……………….3对应于的特征向量为u=,(0)对应于的特征向量为