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1、2010-2011学年第二学期常微分方程考试AB卷答案理学院年级信息与计算科学专业填空题（每题4分，共20分）1.形如（连续）的方程是一阶线性微分方程，它的通解为.2.形如的方程是3阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为.3.形如的方程为欧拉方程,可通过变换把它转化成常系数方程.4.满足初始条件：=0,=1的特解5．5.微分方程的解存在且唯一的条件是:在R上连续且满足利普希茨条件一、下列微分方程的解（每题5分，共30分）1．=解：令x+y=u,则=-1……………………….3-1=u-ar
2、ctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.……………………….52．解：两边同乘以得：……………………….310故方程的通解为：……………………….53．解：令，则，两边对x求导，得，……………………….3解之得，所以，……………………….4且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.……………………….54.解：特征方程有三重根，，……………………….3故通解为……………………….55.解：特征方程有根0,齐线性方程的通解为x=……………………….3又因为0是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=，B=……………………….4故
3、通解为x=……………………….5106.解:原方程可化为………………………1分离变量可得…………………………………………………..3两边积分可得…………………………………………………..4将初值代入上式求得方程的解:……………………….5一、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1．求一曲线，使其任一点的切线在轴上的截距等于该切线的斜率.解：设为所求曲线上的任一点，则在点的切线在轴上的截距为：……………………….3由题意得即也即两边同除以，得………………….5即……………………….7即……………………….10为方程的解。2
4、.满足初值条件解:方程组的特征值,……………………….210对应特征值的特征向量应满足对任意常数,,取,得……………………….4对应特征值的特征向量应满足对任意常数,,取,得……………………….6所以基解矩阵为:……………………….8=………….103.求方程通过点的第二次近似解.解:令，于是…………………….5…………….10五、应用题（10分）1033.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解：，又，由此即…
5、……………….5其中，解之得又时，；时，。故得，从而方程可化为………………….7当时，有米/秒……………….8即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。………………….10六、证明题（10分）1、试证:非齐次线性微分方程组的叠加原理:即:设分别是方程组的解，则是方程组的解.证明：（1）10（2）分别将代入（1）和（2）则………………….5则令即证………………….102010-2011学年第二学期常微分方程考试B卷答案理学院年级信息与计算科学专业一、填空题（每题4分，共20分）1.是恰当方程的充要条件是；其通解可用曲线积分表示为.2
6、．方程叫克莱罗方程，其通解是，其奇解是.3.形如的方程是2阶非齐次(“齐次”还是”非齐次”)_常系数的微分方程,它的特征方程的特征根为.4.若是同一线性方程的基解方阵，则它们间有关系.5．5.微分方程10的解存在且唯一的条件是:在R上连续且满足利普希茨条件二、下列微分方程的解（每题5分，共30分）1.解：令…………….1则：即得到故即…………………….4另外也是方程的解。.…………………….52.=解：y=()…………………….3=[-e()+c]=ce-()是原方程的解。…………………….53．。设…………………….3……………
7、……….410，解为…………………….54.解：特征方程有复数根,……….3故通解为…………………….55.解:原方程可化为故…………………….56.解：特征方程有根-2,-4…………………….1故齐线性方程的通解为x=…………………….3-2是特征方程的根，故代入原方程解得A=……………….4故通解为x=……………….5三、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）1.解：特征方程有2重根-a………………..2当a=-1时，齐线性方程的通解为s=,1是特征方程的2重根，故代入原方程解得A=通解为s=,………………………………
8、……..6当a-1时，齐线性方程的通解为s=,101不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解为s=+…………………………..102.求其基解矩阵.解:det（E－A）=0得＝，＝－……………….3对应于的特征向量为u＝，（0）对应于的特征向量为
