常微分方程试卷答案

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1、衿肇薂蚆袅肆蚅葿膄肅莄螅肀肄蒆薇羆肄蕿螃袂肃芈薆螈膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚅蝿罿腿莅蚂袅膈蒇袈螁膈薀蚁聿膇艿袆羅膆莂虿袁芅蒄袄螇芄薆蚇肆芃芆蒀肂节蒈螅羈节薀薈袄芁芀螄螀芀莂薇肈艿蒅螂羄莈薇薅袀莇芇螀螆莆荿薃膅莆薁衿肁莅蚄蚁羇莄莃袇袃羀蒆蚀蝿罿薈袅肇聿芈蚈羃肈莀袃衿肇薂蚆袅肆蚅葿膄肅莄螅肀肄蒆薇羆肄蕿螃袂肃芈薆螈膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚅蝿罿腿莅蚂袅膈蒇袈螁膈薀蚁聿膇艿袆羅膆莂虿袁芅蒄袄螇芄薆蚇肆芃芆蒀肂节蒈螅羈节薀薈袄芁芀螄螀芀莂薇肈艿蒅螂羄莈薇薅袀莇芇螀螆莆荿薃膅莆薁衿肁莅蚄蚁羇莄莃袇袃羀蒆蚀蝿罿薈袅肇聿芈蚈羃肈莀袃衿肇薂蚆袅肆蚅葿膄肅莄螅肀肄蒆薇羆肄蕿螃袂肃芈薆螈膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚅蝿罿腿

2、莅蚂袅膈蒇袈螁膈薀蚁聿膇艿袆羅膆莂虿袁芅蒄袄螇芄薆蚇肆芃芆蒀肂节蒈螅羈节薀薈袄芁芀螄螀芀莂薇肈艿蒅螂羄莈薇薅袀莇芇螀螆莆荿薃膅莆薁衿肁莅蚄蚁羇莄莃袇袃羀蒆蚀蝿罿薈袅肇聿芈蚈羃肈莀袃衿肇薂蚆袅肆蚅葿膄肅莄螅肀肄蒆薇羆肄蕿螃袂肃芈薆螈膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚅常微分方程试卷答案一、问答题：（每题6分，共30分）1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与

3、该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。2．举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。例：求的通解。首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为，然后将常数变易为的待定函数，令，微分之，得到，将上述两式代入方程中，得到即积分后得到进而得到方程的通解3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：阶线性微分方程的初值问题其中是区间上的已知连续函数，，是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题但是需要指出的是每一个阶线性微分方程可化为个一阶线性微分方程构成的方程组

4、，反之却不成立。4．若常系数线性方程组和有相同的基本解矩阵，则与有什么关系？答：设常系数方程组的基解为，的基解为，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，根据的解的性质知，则可得，为非奇异的常数矩阵。5．写出线性微分方程组的皮卡逐次逼近序列。二、求下列方程（或方程组）的通解（或特解）：（每题10分，共50分）1.解：方程可化为，当时，，是伯努利方程。其中。令，方程可化为，则将代入上面的式子，可得或者也是方程的解。2．解：令，则原方程可化为对求导，可得，则那么：或者当时，则当时，则，那么，可得，其中是任意常数。3.解：方法一：方程两端同时乘以，转化为欧拉方程。它的特征方程，特征根为

5、0，0，1.方程的基本解组为故其通解为方法二：令，将方程转化为一阶线性方程，解之得。即有，积分得，再积分得其通解为4.解：原方程可写成，方程的左边可写成则积分可得，那么因为，所以，则利用常数变易法可求得方程的解为：5.解：特征方程为可得特征值为。对应于特征值的特征向量为，对应于特征值的特征向量为，对应于特征值的特征向量为。令，可得方程组的基解为。三、证明题(共20分)1．给定方程，其中在上连续，设是上述方程的任一两个解，证明极限存在。证明：齐次方程的特征方程为解之得，。所以齐次方程的通解为因为是非齐次方程的两个解，有解的性质可得，是对应齐次方程的解，也就是说存在适当的常数使得=从而

6、2．证明：已知二阶非齐次方程对应齐次方程的一个非零解，则该方程可以求得通解。证明：对于二阶线性方程，经过变换，得到再作变换，即这是一个以为未知函数的一阶线性非齐次方程，容易求出它的通解为再积分则该方程的解可表示为那么齐次方程的解为：然后利用常数变易法可以求得非齐次方程的一个特解那么所求方程的通解为即证该方程可以求得通解。薅蚄袅肀莈薀袄膃薃蒆袃芅莆螅羂羅薁蚁羁肇莄薇羀腿薀蒃羀莂莃袁罿肁芅螇羈膄蒁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅肅肈节螄肄膀蒇蚀肄芃芀薆肃肂蒆薂肂膅荿袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈蚆膁莅蒄螅芃薁螃螄羃莃虿螃膅蕿蚅螂芈蒂薁螂莀芅袀螁肀蒀螆螀膂芃蚂蝿芄蒈薇袈羄芁蒃袇肆蒇螂袆艿艿螈袆莁薅蚄袅肀莈

7、薀袄膃薃蒆袃芅莆螅羂羅薁蚁羁肇莄薇羀腿薀蒃羀莂莃袁罿肁芅螇羈膄蒁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅肅肈节螄肄膀蒇蚀肄芃芀薆肃肂蒆薂肂膅荿袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈蚆膁莅蒄螅芃薁螃螄羃莃虿螃膅蕿蚅螂芈蒂薁螂莀芅袀螁肀蒀螆螀膂芃蚂蝿芄蒈薇袈羄芁蒃袇肆蒇螂袆艿艿螈袆莁薅蚄袅肀莈薀袄膃薃蒆袃芅莆螅羂羅薁蚁羁肇莄薇羀腿薀蒃羀莂莃袁罿肁芅螇羈膄蒁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅肅肈节螄肄膀蒇蚀肄芃芀薆肃肂蒆薂肂膅荿袀肁芇薄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈蚆膁莅蒄螅芃薁螃螄羃莃虿螃膅蕿蚅螂芈蒂薁螂莀芅袀螁肀蒀螆螀膂芃蚂蝿芄蒈