多元函数的导数.ppt

《多元函数的导数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。

1、第六章　多元函数微积分6-4多元函数的导数6-4-1偏导数6-4-2高阶偏导数6-4-3多元复合函数的求导法6-4-4隐函数的求导法一元函数导数的概念：表示函数在点处的导数其中函数的改变量对于二元函数类似的有函数的改变量称为偏增量设函数在点的某一邻域内有定义，若存在，则称此极限值为函数在点处对x的偏导数，定义6-86-4-1偏导数1．偏导数的定义，记作同理，若存在，则称此极限值为在点处对y的偏导数，记作即即如果在区域D内每一点处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数仍是的函数，此函数称为函数对自变量x的偏导函数，记作类似地，可以定义函数对自变量y的偏导函数，记作在

2、不致混淆的情况下，偏导函数也称偏导数。偏导数的概念可以推广到二元以上的函数。2．偏导数的求法解：所以例6-29求函数在点处的两个偏导数因为对x求偏导数把y看成常数；对y求偏导数把x看成常数；例6-30设求解：例6-31设，求证：证明：所以因为3．偏导数的几何意义二元函数在点处的偏导数，是一元函数及分别在点及处的导数．因此二元函数的偏导数的几何意义是曲线切线的斜率6-4-2高阶偏导数如果这两个函数关于x，y的偏导数也存在，则称它们的偏导数是的二阶偏导数。函数的两个偏导数一般说来仍然是x，y的函数，依照对变量的不同求导次序，的二阶偏导数有四个：其中及称为二阶混合偏

3、导数。对于二阶混合偏导数有下述定理如果函数在区域D上两个二阶混合偏导数及连续，则在区域D上有定理6-3类似地，可以定义三阶、四阶、…、n阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。例6-32求函数的所有二阶偏导数.解：因为所以例6-33求函数的所有二阶偏导数.解：因为所以6-4-3多元复合函数的求导法一元复合函数求导法则可理解为复合而成称为多元复合函数6-4-3多元复合函数的求导法1．中间变量均为一元函数的情形如果函数均在点t处可导，函数在对应点处具有连续的偏导数，则复合函数在点处可导，且有求导公式：用树图形象地表示它的结构，就是zutvt其中表示多元函数

4、的导数（偏导）2．中间变量均是二元函数的情形(,)xy设在点处都具有偏导数,二元函数在对应点处具有连续的偏导数，则复合函数在点处的两个偏导数存在，并有求导公式：用树图形象地表示它的结构，就是xyvzuxy上述公式称为“链式法则”.在多元复合函数的求导过程中,“链式法则”的使用有多种情形.例如：①设在点处都具有偏导数,三元函数在对应点处具有连续的偏导数，则复合函数在点处的两个偏导数存在，并有求导公式：zwxyvxyuxy②设在点x处可导，在点具有偏导数,函数在对应点处具有连续的偏导数，则复合函数在点处的两个偏导数存在，并有求导公式：xyvuzx例6-34设求解：

5、例6-35设求解：例6-36设，求解：设则若用表示对第个中间变量的偏导数，则例6-37设，其中可导，证明；证：所以6-4-4隐函数的求导法复习多元复合函数求导法则（链式法则）则有而求则有6-4-4隐函数的求导法1．由二元方程所确定的一元隐函数的求导公式将方程两边对求导，得所以按多元复合函数求导法则2．由二元方程所确定的二元隐函数的求导公式将方程两边对求导，得所以同理按多元复合函数求导法则需要说明的是表示三元函数分别对自变量的导数令例6-38设，求解：因为所以例6-39设，求令解：因为所以例6-39设，求令解：因为所以