《多元函数的导数》PPT课件

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1、高等院校非数学类本科数学课程大学数学（三）多元微积分学第一章多元函数微分学第一章多元函数微分学本章学习要求：理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。理解方向导数的概念，并掌握它的

2、计算方法以及它与梯度的关系。会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。知道二元函数的泰勒公式形式。知道n元函数的偏导数概念及其求法。熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。11.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12.理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和

3、最小值的应用问题。第三节多元函数的导数繁啦！烦多元函数的偏导数是一元函数导数的推广,其计算往往是借用一元函数的计算公式和方法,但实际计算往往较繁.在推广中有一些东西将起质的变化.我们通常介绍二元函数的情形,所得结果可以推广到更高元的函数中,一般不会遇到原则性问题.工程和科学技术中,遇到的大部分是多变量的问题,在处理时往往需要知道在其它变量不变,只有某一个变量变化时,引起的事物反应.在物理和力学中,经常用到力和速度的分解和合成.一般是将任意方向的力或分速度.力或速度分解为平行于坐标轴方向的分一元函数的导数将函数表示为含参数的形式用下标显示是对x求导一元函数的

4、导数如果x,y为自变量,这就是二元函数f(x,y)关于变量x的偏导数.将参数a换成变量y.一.偏增量和全增量偏增量或一.偏增量和全增量偏增量或一.偏增量和全增量全增量或表示为一.偏增量和全增量例如:同学们不难将以上增量形式推广至空间中.函数的增量的全增量和偏增量的改变量称为函数的全增量和偏增量.函数相应于自变量二.多元函数的偏增量和全增量函数的偏增量函数在点处的偏增量为:及二.多元函数的偏增量和全增量沿此曲线计算的函数在点P处的增量为偏增量二.多元函数的偏增量和全增量函数的全增量或二.多元函数的偏增量和全增量函数在点处的全增量为:函数增量的点函数表示二.多

5、元函数的偏增量和全增量函数在点处的全增量为:函数在点处的偏增量为:对于中的函数可仿此进行增量的定义其中全增量例函数的连续性能否用函数的全增量描述？想想：函数的连续性能否用函数的全增量描述？能怎么描述？二元函数的偏导数定义三.多元函数的偏导数三.多元函数的偏导数二元函数的偏导数定义变量x和y的偏导数均存在,则称函数若函数在点处关于在点处可偏导.在区域内的任一点若函数内可偏导.处均可偏导,则称函数在区域与一元函数的情况类似,函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数,一般仍称为函数在区域上的偏导数.下面讨论偏导数的计算方法可以看出:定义时,变量y是不变的,实际上

6、,是对函数,将y视为常数,关于变量x按一元函数导数的定义进行的：实质上是哇！爽！求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数.实质上是求忘记了,请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时,只要将n个自变量中的某一个看成变量,其余的n－1个自变量均视为常数,然后按一元函数的求导方法进行计算即可.例解由定义,此例也可用下列方式求解但最好采用前一种方法.将y看成常数将x看成常数例解将y看成常数时,是对幂函数求导.将x看成常数时,是对指数函数求导.例解以上的叙述虽然是对二元函数元及其以上的多元函数中去.进行

7、的,但其结论可直接推广到三例解由k的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,例解但是想想是什么问题?该例说明了一个重要问题：对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的一个本质区别.在热力学中,已知压强P、体积V和温度T之间满足关系PV=kT,其中,k为常数,证明：从而例证警告各位！偏导数的符号是一个整体记号,与的商.不能像一元函数那样将看成是xyzO..四.偏导数的几何意义二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿x轴和y轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续.

8、偏导数的几何意义说明了一个问题:五.二元函数的微分中值定理定理∵∴