多元复合函数的导数.ppt

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1、§1－5　多元复合函数的导数一、链式法则则复合函数z=f(u(x),v(x))在点x处可导.且(公式也称为链式法则)证:设u=u(x),v=v(x)在点x处可导.而z=f(u,v)在x对应的点(u,v)可微.只要证定理1又因z是u,v的函数,进而得到z.因z=f(u,v)在(u,v)可微.给x以改变量x,因u,v是x的函数,可得u,v的改变量u,v.同除以x0,得令x0,得从而=0故注意到当x0时,u,v趋于0.无穷小乘有界量用同样的方法,可将该公式推广到中间变量为3个,4个,…等情形.比如,设z=f(u,v,w),u=u(x),v=v(x),w=w(x),满足定理条件

2、.则例1.设z=tg(u+v),u=x2,v=lnx,解:(1)z=tg(x2+lnx)(2)z'=sec2(x2+lnx)若u,v是x,y的二元函数,u=u(x,y),v=v(x,y),此时z=f(u,v)=f(u(x,y),v(x,y))是x,y的二元函数.如何求z对x,y的偏导数?由上述公式.有1,若z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y))满足定理条件.则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))的偏导数为(只须将定理1中导数符号改为偏导符号)2,公式1可推广到中间变量多于2个的情形.如,设z=f(u,v,w),u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y),

3、则3若在2中,u=u(x,y,t),v=v(x,y,t),w=w(x,y,t).问例2.解:(1)可将u,v代入后直接求偏导.(2)用链式法则(两个中间变量)故例3.解:此例与上两例有区别.这里函数f的表达式未给出,只能用链式法则求偏导.引进中间变量(引进几个中间变量?)记u=x2–y2,v=xy.从而z=f(u,v),由链式法则,得z=f(u,v),u=x2–y2,v=xy.记等等.引进记号,设z=f(u,v),例4.解:引进3个中间变量.记u=x,v=xy,w=x+y.则z=f(u,v,w).有1.在这一类问题中为何引进中间变量?注从而这是否对?为什么?对u(也就是x)求偏导.两者不同

4、.例.设z=f(x,xy)=x+xy,记u=x,v=xy,有z=u+v.3.若z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),则z通过u,v成为x,y的二元复合函数.从而是x,y的二元复合函数.例5.证:从而=x例6.若f(x,y,z)恒满足关系式f(tx,ty,tz)=tkf(x,y,z).则称它为k次齐次函数.证明k次齐次函数满足证:等式f(tx,ty,tz)=tkf(x,y,z).两边对t求偏导.右边对t求偏导即记u=tx,v=ty,w=tz,则f(tx,ty,tz)=f(u,v,w).即同乘以t,得例7.设z=f(u,v),fC1,而u=xcosy,v=xsiny.解:这是关于

5、链式公式的逆问题.链式公式代入链式公式,得,系数行列式=x0从而为未知量的二元一次方程组.常可通过解线性方程组的方法求1.本例说明二元复合函数的链式公式可看作以注2.对本例而言,若还要求出z的函数表达式,如何求?3.设z=f(x,y),则在区域D内z=C(常数).(自证)4.若z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),x=x(r,),y=y(r,).易见z是r,的复合函数.因此又因u,v都是r,的复合函数.因此设z=f(u,v)可微,当u,v为自变量时,有若u,v不是自变量,而是中间变量,是否仍有这一形式?设u=u(x,y),v=v(x,y)均可微,则z=f(u(x,y

6、),v(x,y)),二、全微分的形式不变性由链式法则,代入,z=f(u(x,y),v(x,y))即,不论u,v是自变量还是中间变量,z=f(u,v)的全微分的形式不变.例8.用全微分形式不变性求解:记u=xy,从而z=f(u,v).从而§1－6　隐函数的导数上期已讨论了求隐函数的导数问题.即,设方程F(x,y)=0.求由该方程所确定的函数y=f(x)的导数.方法是:方程两边对x求导.注意y是x的函数,然后解出y'.(1)是否任何一个二元方程F(x,y)=0.都确定了y是x的函数(单值)?如x2+y2=1.什么条件下确定y=f(x)?(2)若方程确定y=f(x).它是否可导?给出一般的求导公式.

7、(3)三元(以上)方程F(x,y,z)=0.的情形怎样?留下了问题.设函数F(x,y)在点X0=(x0,y0)的邻域U(X0)内有连续偏导数.考虑方程F(x,y)=0.且F(x0,y0)=0,则方程F(x,y)=0在点X0=(x0,y0)的某邻域内唯一确定一个有连续导数的(单值)函数y=f(x),它满足y0=f(x0).且证略一、一个方程的情形(隐函数存在定理).定理1对公式的推导作些说明.设方程