多元复合函数二阶导数(篇)

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1、多元复合函数二阶导数(5篇)以下是网友分享的关于多元复合函数二阶导数的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。多元复合函数二阶导数篇一多元复合函数的二阶偏导数公式黄世强郑州工业大学数力系孙跃俊焦作工学院基础部454150摘要本文建立了多元复合函数的二阶偏导数公式。关键词偏导数矩阵内积中图分类号O17211使用Jacobi矩阵能够给出多元复合函数的一阶偏导数公式1。但是长期以来对于多元复合函数的高阶偏导数却只有运算法则没有计算公式。本文以具有两个中间变元的复合函数为例建立了多元复合函数的二阶偏导数

2、公式。从而使繁冗且易错的运算可以规范化地进行。1一阶偏导数的各种表示式设函数zfuv∈29C2其中uuxy∈C2vvxy∈C2。构造函数矩阵行向量2:A〔f′uf′v〕Bx〔u′xv′x〕By〔u′yv′y〕则成立一阶偏导数公式5z5xf′uu′xf′vv′xABTxABx15z5yf′uu′yf′vv′yABTyABy2其中AT是A的转置ABx是A与Bx的内积。定义称F�6�9f〃uuf〃uvf〃uvf〃vv为A关于u、v的导数矩阵。2定理定理一矩阵A关于x或y的偏导数等于矩阵Bx或By左乘A关于u、v

3、的导数矩阵F。证明5A5x〔55xf′u5A5xf′v〕〔u′xv′x〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvBxF3同理可得5A5yByF4定理二设矩阵G〔Υx、y.7x、y〕∈C′则55xAGTBxFGTA55xGT5第18卷第3期1997年9月郑州工业大学学报JournalofZhengzhouUniversityofTechnologyVol118No131Sep1199755yAGTByFGTA55yGT6证明由式1及内积求导公式2并利用式3有55xAGT55xAG5A5xGA5G5xBxFGTA55

4、xGT同理可得6式。3复合函数的二阶偏导数公式取GBx或GBy将其分别代入式5、6整理后就有:52Z5x2〔u′xv′x〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′xv′x〔f′u.f′v〕u〃xxv〃xx752Z5y2〔u′yv′y〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′yv′y〔f′u.f′v〕u〃yyv〃yy852Z5x5y〔u′yv′y〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′xv′x〔f′u.f′v〕u〃xyv29〃xy9特别地当uuxvvx时有d2Zdx2〔u′v′〕f〃uuf〃uvf〃uvf〃vvu′v

5、′〔f′u.f′v〕u〃v〃。10参考文献1CGOFFMAN著.史济怀等译.多元微积分.人民教育出版社.19792谢树艺著.矢量分析与场论第二版.高等教育出版社.1990TheFormulaofPartialDerivativeofSecondOrderonCompoundFunctionofManyVarablesHuangShiqiangZhenzhouUniversityofTechnologySunYuejunJiaozuoInstituteofTechnology454150AbstractIn

6、thispapertheformulaofpartialderivativeofsecondorderoncom2poundfunctionofmanyvarablesisestablished.Keywordspartialdifferentialmatrixinnerparitial411郑州工业大学学报1997年多元复合函数二阶导数篇二多元复合函数的求导法29在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。

7、我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续例题：求函数解答：令由于的一阶偏导数而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。29全导数由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数是x的一元函数.复合起来的函数这时复合函

8、数的导数就是一个一元函数的导数此时的链导公式为:,称为全导数.例题：设z=uv，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：2将u=cosx，v=sinx代入上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。多元函数的极值29在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的