垂直于弦的直径.docx

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1、垂直于弦的直径第一课时 垂直于弦的直径（一）　　教学目标：　　(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；　　(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；　　(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．　　教学重点、难点：　　重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．　　  难点：垂径定理的证明．　　教学学习活动设计：　　 　　（一）实验活动，提出问题：　　1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.　　2、提出问题：老师引导学生观察

2、、分析、发现和提出问题.　　通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．　　（二）垂径定理及证明：　　已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．　　求证：AE=EB，  =  ，  =  ．　　证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，  、  分别和  、  重合．因此，AE=BE，  =  ，  =  ．从而得到圆的一条重要性质．　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．　　组

3、织学生剖析垂径定理的条件和结论：　　 CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB，  =  ，  =  .　　为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.　　（三）应用和训练　　例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．　　分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．　　解：连

4、结OA，作OE⊥AB于E．　　则AE=EB．　　∵AB=8cm，∴AE=4cm．　　又∵OE=3cm，　　在Rt△AOE中，　　 (cm)．　　∴⊙O的半径为5cm．　　说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h　　关系：r=h+d；　r2 =d2 +(a/2)2　　例2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）　　说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．　　练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价

5、、交流．　　指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.　　（四）小节与反思　　教师组织学生进行：　　知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．　　方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．　　（五）作业　　教材P84中11、12、1

6、3．第二课时 垂直于弦的直径（二）　　教学目标：　　（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；　　（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力．促进学生创造思维水平的发展和提高　　（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系．　　教学重点、难点：重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法．　　难点：垂径定理的推论1．　　学习活动设计：　　(一)分解定理（对定理的剖析）　　1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.　　2、剖析：　　（教师指导）　　(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交

7、流，B层学生老师引导）　　 ，  ，……（包括原定理，一共有10种）　　(三)探究新问题，归纳新结论：　　（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.　　（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.　　（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.　　（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.　　(四)巩固练习：　　练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?　　（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件．）　　练习2、按图填空：在⊙O中，　　（1）若